25. Временные характеристики динамических звеньев

Общей моделью динамического звена является дифференциальное уравнение, позволяющее найти реакцию звена (системы) на любой входной сигнал. Для упрощения анализа работы звена используют так называемы типовые воздействия – единичный ступенчатый сигнал, единичную импульсную функцию, линейный возрастающие сигнал, синусоидальные воздействий и др. Реакции звеньев на типовые воздействия полностью характеризуют дифференциальное уравнения динамического звена и используются как типовые характеристики звена. К ним относятся и временные характеристики динамического звена, под которыми подразумевают процессы перехода звена (системы) из одного установившегося состояния в другое под действием типовых воздействий.

Временные характеристики могут быть получены теоретически из дифференциального уравнения звена и экспериментально. Последнее позволяет экспериментально исследовать звено и по полученным временным характеристикам получить дифференциальное уравнение элемента.

К типовым временным характеристикам относятся переходная и импульсная переходная характеристики.

Переходная характеристикадинамического звена - реакция системы на единичный ступенчатый сигнал (функцию Хевисайда).

.

Найдем реакцию звена на единичный скачок, используя метод преобразования Лапласа. Передаточная функция звена .

Входной сигнал во временной области .

Преобразование Лапласа от единичного ступенчатого сигнала

.

Преобразование Лапласа выходной величины .

Тогда выходной сигнал .

Таким образом, переходная характеристика звена (системы) равна обратному преобразованию Лапласа от передаточной функции звена, деленной на оператор Лапласа p.

Импульсная переходная характеристикадинамического звена (весовая характеристика) - реакция системы на единичный импульсный сигнал (функцию Дирака).

.

Найдем реакцию звена на единичный импульс, используя метод преобразования Лапласа. Передаточная функция звена .

Входной сигнал во временной области .

Преобразование Лапласа от единичного импульсного сигнала

.

Тогда выходной сигнал .

Таким образом, переходная импульсная характеристика звена (весовая функция) равна обратному преобразованию Лапласа от передаточной функции звена.

Примеры построения временных характеристик в МathCadприведены в вопросе .

26. Частотные характеристики динамических звеньев

Частотная характеристика является динамической характеристикой элемента системы управления. Она описывает прохождение гармонических сигналов через динамическое звено.

Подадим на вход линейного элемента синусоидальный сигнал

.

После окончания переходного процесса на выходе получим сигнал той же частоты, но другой амплитуды и сдвинутый по фазе на угол (рис. 1):

.

Рассмотрим представление гармонических сигналов на комплексной плоскости. Вектор А, вращающийся вокруг начала координат на комплексной плоскости со скоростьюможет быть представлен комплексным выражением(рис. 2). На основании уравнения Эйлера

его можно разложить на две составляющие .

Отсюда косинусоидальный и синусоидальный сигналы можно представить в виде вещественной и мнимой частей вращающегося на комплексной плоскости вектора, длина которого равна амплитуде сигнала , а скорость вращения равна круговой частоте гармонических сигналов. Отличие синусоидального и косинусоидального сигналов заключается в отставании фазыотносительнона, который определяется множителем .

Тогда выходной сигнал может быть представлен вращающимся с той же скоростью вектором, имеющим амплитуду и сдвинутым по отношению к векторуАпо фазе на угол _{(см. рис.2)}.

Будем подавать на вход элемента синусоидальные сигналы x(t)с постоянной амплитудойАи разными частотами. Для каждой частоты мы получим свое значение амплитуды и фазы выходного сигналаВи.

Отношение выходного сигнала к входному сигналу в комплексной форме называется амплитудно - фазовой частотной характеристикой АФЧХ исследуемого элемента . Она показывает зависимость коэффициента передачи элемента (отношение амплитуд выходного сигнала к входному) и разности фаз между ними от частоты входного сигнала

.

Зависимость коэффициента передачи элемента от частоты называется амплитудной частотной характеристикой АЧХ .

Зависимость фазы между выходным и входным сигналом от частоты называется фазо-частотной характеристикой элемента ФЧХ

.

АФЧХ может быть получена из передаточной функции заменой pнаj

.

Геометрически АФЧХ изображается на комплексной плоскости в полярных координатах и представляет собой годограф, показывающий зависимость коэффициента передачи и сдвига фазы от частоты входного сигнала.

Годограф АФЧХ может быть построен и в декартовых координатах, для чего вводятся вещественная и мнимаячастотные характеристики.

Подставим в передаточную функцию и запишем АФЧХ в виде отношения полиномов

.

Разложим числитель и знаменатель на вещественные и мнимые составляющие

.

Для устранения мнимой части в знаменателе умножим числитель и знаменатель на величину, сопряженную знаменателю

Таким образом, АФЧХ мы представили в виде суммы двух составляющих вещественной и мнимой частотных характеристик

.

Из них могут быть получены амплитудная и фазовая частотные характеристики элемента

,.

В теории управления широко используются логарифмические амплитудная и фазовая характеристики. Амплитудная фазовая частотная характеристика может быть записана в следующих видах

.

Прологарифмируем АФЧХ

.

Мы получили комплексное число, вещественная часть которого показывает зависимость логарифма модуля от частоты, а мнимая часть – фазы от частоты.