33. Звено второго порядка. Математическая модель, характеристики.

34. Эквивалентные модели последовательного, параллельного, встречно-параллельного соединений элементов системы управления.

Элементы в системах управления могут соединяться в самых различных сочетаниях, но схему любой сложности можно рассматривать как совокупность трех типов соединений: последовательное, параллельное и соединение с обратной связью.

1. При последовательном соединении элементов общая передаточная функция равна произведению передаточных функций элементов.

2. При параллельном соединении элементов общая передаточная функция равна сумме передаточных функций элементов

2. Получим выражения для передаточной функции элемента, охваченного обратной связью (встречно-параллельное соединение элементов) .

При отрицательной обратной связи

При положительной обратной связи

Преобразование структурных схем систем управления.

18. Виды передаточных функций системы управления, их определение по передаточным функциям элементов системы.

На основании данный правил преобразования структурная схема любой сложности может быть приведена к типовой структурной схеме.

– передаточная функция разомкнутой системы.

– передаточная функция замкнутой системы по задающему

воздействию (по каналу задающее воздействие-регулируемая переменная).

– передаточная функция замкнутой системы по возмущению

(по каналу возмущающее воздействие – регулируемая переменная).

Ошибка управления

W(p) – передаточная функция задающего воздействия на ошибку.

W(p) – передаточная функция возмущающего воздействия на ошибку.

Рассмотрим структурную схему, более общего вида для возмущений, приложенных в нескольких точках.

1. 

2. 

3. 

4. 

У стойчивость системы управления. На рис. представлены три возможных графика переходных процессов регулируемой переменной по задающему воздействию. Здесь (и часто далее) анализ работы систем управления проводится в отклонениях выходной переменной от заданного значения (поэтому нахождение системы в стационарном состоянии, когда регулируемая переменная равна заданию обозначается линией на уровне 0).

График 1 – апериодический переходной процесс в заданное состояние.

График 2 – колебательный затухающий переходной процесс в заданное состояние.

График 3 – колебательный расходящийся переходной процесс вокруг заданного значения.

В первых двух случаях система управления переходит в заданное значение. Говорят система является устойчивой. В третьем случае выходная переменная совершает расходящийся колебательный процесс – система является неустойчивой.

При разработке системы обеспечение ее устойчивости является важным условием работоспособности системы. Это означает обеспечение перехода системы в заданную точку по задающему воздействию и перехода системы в нулевое положение при действии возмущающего воздействия и после прекращения его действия.

П роизведение передаточных функций всех элементов контура системы является передаточной функцией разомкнутой системы. На элемент сравнения регулируемая переменная подается со знаком минус, что означает сдвиг по фазе на 180⁰. Каждый элемент системы имеет свою частотную характеристику и дает свой фазовый сдвиг. Фазовый сдвиг всех элементов системы может быть более 180⁰, и при этом отрицательная обратная связь может превратиться в положительную. При этом система может стать неустойчивой. В общем случае суммарное отставание по фазе всех элементов обычно более 180⁰ и необходимо в этих условиях обеспечить устойчивость и работоспособность системы.

Система с отрицательной обратной связью является устойчивой:

- если общий сдвиг по фазе всех элементов разомкнутой системы не превышает -180⁰, тогда отрицательная обратная связь не превращается в положительную.

- общий сдвиг элементов системы по фазе может быть более -180⁰ , но тогда модуль частотной характеристики должен быть не более 1.

Эти два условия выражаются критерием Найквиста, согласно которому АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты до не должна охватывать точку С(-1,j0). Это означает, что при отставании по фазе более -180⁰ коэффициент системы не должен быть более 1.

На рис. приведены три амплитудные фазовые частотные характеристики разомкнутой системы третьего порядка. Системы управления с АЧФЧ 1, 2 является устойчивыми, т.к. не охватывают точку С(-1,j0). Система управления с АФЧХ 4 охватывает точку С(-1,j0) и отрицательная обратная связь превращается в положительную с коэффициентом по замкнутому контуру системы более 1. Данная система является неустойчивой.

Устойчивость систем автоматического регулирования.

Понятие устойчивости связано со способностью системы возвращаться в исходное состояние после прекращения действия возмущения. Возможны три случая:

1. Система возвращается в исходное состояние, т.е. система устойчивая.

2. Характеризуется незатухающими колебаниями, система находится на границе устойчивости.

3. Колебания расходящиеся – система неустойчивая.

Система является устойчивой, если отклонение регулируемой величины по истечении достаточно большого времени становится меньше некоторого заранее заданного числа .

Распишем полиномы .

Данное дифференциальное уравнение описывает действие системы при отсутствии возмущающих воздействий. При наличии возмущающих воздействий изменяется только правая часть данного уравнения. Характер переходного процесса определяется только левой частью данного уравнения, т.е. свободная составляющая определяется корнями левой частью.

Запишем характеристическое уравнение

Из рассмотренных выше решений дифференциальных уравнений:

а) если корни вещественные и отрицательные, то свободная составляющая

,

а переходной процесс будет определяться суммой ниспадающих экспонент.

б) для пары сопряженных комплексных корней с отрицательной вещественной частью составляющие свободного движения также убывают до 0 при t . Переходной процесс имеет вид затухающей синусоиды

в) чисто мнимые корни; свободная составляющая (их компоненты) в виде незатухающих колебаний.

Таким образом, система устойчивая, если вещественные корни отрицательные, а мнимые – имеют отрицательную вещественную часть. При наличии чисто мнимых корней система находится на границе устойчивости. А при положительных вещественных корнях и положительных вещественных составляющих мнимых корней система является неустойчивой.

Обычно реальная система является нелинейной и при анализе динамики ее уравнения линеаризируются. Ляпунов (русский математик) доказал три теоремы:

1. Если корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части, то реальная система устойчивая и никакие отброшенные части второго и третьего порядка не изменяют устойчивость системы.

2. Если хотя бы один корень имеет положительную вещественную часть, то система неустойчивая и никакие отброшенные части не смогут придать системе устойчивость.

3. Если характеристическое уравнение имеет нулевой или чисто мнимые корни, то поведение реальной системы, отброшенные части могут изменить устойчивость.

Рассмотрим корни характеристического уравнения на комплексной плоскости.

p₁ p₂ p₃

₁  ₂   ₃  

Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни лежали в левой полуплоскости. Нулевой корень и чисто мнимый корень лежат на мнимой оси, система находится на границе устойчивости. Если корни лежат в правой полуплоскости, то система неустойчивая.

Не всегда удобно вычислять корни характеристического уравнения особенно большого порядка, поэтому разработаны критерии, позволяющие исследовать устойчивость системы без вычисления корней характеристического уравнения:

1. Необходимым, но недостаточным критерием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. На основании основной теоремы алгебры характеристическое уравнение можно писать

Если все , то

Все коэффициенты будут больше нуля.

Аналогично для комплексных корней.

2. Критерий Раус: в виде таблицы для характеристического уравнения замкнутой системы

1.

2.

3.

4.

Строка 1 – включает четные коэффициенты характеристического уравнения;

Строка 2 – нечетные коэффициенты.

Следующие строки (до n ) заполняются на основании указанного алгоритма, на основании вышележащих строк. Если все коэффициенты первого столбца  , то система устойчивая. Если хотя бы один коэффициент первого столбца  , то система неустойчивая; при этом число переменных знаков первого столбца указывает количество корней с положительной вещественной частью.

Недостаток критерия: большой объем вычислений при большом порядке уравнений.

3. Критерий Гурвица: составляется квадратная матрица (nn). Все n – определителей малых матриц от (11) до (nn) должны быть больше нуля, при

Мы рассмотрели алгебраические критерии устойчивости. Они сложны при n>4. Кроме того, в случае неустойчивой системы они не дают ответа, какие параметры в какую сторону изменять, чтобы сделать систему устойчивой.

Критерий Михайлова и Найквиста: в их основе лежит принцип аргумента. Принцип аргумента:

Построим характеристический вектор.

. Суммарный угол поворота вектора D равен сумме углов поворота отдельных сомножителей Возможные варианты сомножителей:

1. , Сомножитель .

Построим годограф этого вектора при изменении частоты (0) до бесконечности

2. Сомножитель

, Мы рассматриваем приращение угла, которое дает данный сомножитель к произведению D(j) (он дает   ).

3 . Комплексно-сопряженные корни с отрицательной вещественной частью. При   , векторы А₁ и А₂. По аналогии при изменении    А₁ и А₂ идут вертикально вверх, , ,

Таким образом, пара комплексных корней дает поворот годографа D(j) на угол  в положительную сторону.

4.

А ₄, А₅ – исходные точки годографов – при увеличение , пойдут вертикально вверх. При 

Всего имеется n – корней. Пусть корней имеют положительную вещественную часть (вещественные или комплексные корни). Для корней угол поворота , для остальных корней . Полный угол поворота годографа . При

Таким образом, система устойчивая, если приращение угла годографа (фазы) при изменении  от 0 до  равно . Если приращение меньше, то система неустойчивая.

Критерий Михайлова:

для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова D(j) при  имел угол поворота . Оказывается, годограф всегда имеет плавную спиралеобразную форму, причем ее конец уходит в бесконечность в том квадранте, номер которого равен степени характеристического полинома. Число квадрантов > n годограф пройти не может.

Метод: записывается , подставляется ; разбивается на мнимую и вещественную части:

Строится график