27.Ступенчатые ф-ции. Свойства ступ. Функций.

Ф-ция f:XR-ф-ция заданная на Х.

Ф-ция f, заданная на Х, наз-ся ступенчатой ф-цией, если она принимает не более чем счетное число значений причем прообраз явл-ся измеримым мн-вом для любого n.

Пример. Рассмотрим функцию Дирихле

измеримо

также измеримо.

Теорема . Обратная функция Дирихле ступенчатая.

Пусть

Примером ступ-той функции являются характеристические функции .

Совокупность всех ступ-тых функций будем обозначать .

Свойства ступенчатых функций.

1. Произведение любого числа на ступенчатую функцию есть ступенчатая функция, т.е.

2. Сумма двух ступенчатых функций является ступенчатой функцией, т.е. .

Доказательство этого очевидно, т.к. если , где и - измеримые множества.

.

.

3. St-векторное пр-во, т.к. выдерживает векторные операции 1.и2.

4. Произведение ступенчатых функций является ступенчатой функцией, т.е.

Доказательство аналогично доказательству свойства 2.

.

Отметим, что функция, равная тождественно константе, является ступенчатой.

Из свойств 1 – 4 получаем, что совокупность всех ступенчатых функций является алгеброй над полем .

5. St – алгебра. Она содержит единицу, т.е. 1(х)=1 , xX 1 St, g.f = f.g, т.е. имеет место коммутативность, St – коммутативная алгебра с единицей.(но St не явл. полем)

28. Интегрируемые ступенчатые функции и их св-ва

Определение. Ступенчатая функция называется интегрируемой, если ряд , т.е. сходится.

Это означает абсолютную сходимость ряда .

Если ступенчатая функция интегрируема, то модуль ее интегрируем.

- множество интегрируемых ступенчатых функций.

Свойства интегрируемых ступенчатых функций.

1. Произведение любого числа на интегрируемую ступенчатую функцию есть интегрируемая ступенчатая функция, т.е. .

2. Сумма двух интегрируемых ступенчатых функций является интегрируемой ступенчатой функцией, т.е. .

Действительно,

3. Линейная комбинация интегрируемых ступенчатых функций является интегрируемой ступенчатой функцией, т.е.

.

Это свойство значит, что совокупность всех интегрируемых ступенчатых функций образует векторное (линейное) пространство над полем .

29.Интегралы от ступенчатой ф-ции

Определение. Интегралом от интегрируемой ступенчатой функции называется число, которое обозначается и определяется .

Свойства интеграла.

1.

2.

3.

Интеграл является линейным функционалом.

4.