Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
шпоры ФАиИУ 5 сем.doc
Скачиваний:
10
Добавлен:
25.11.2018
Размер:
1.25 Mб
Скачать

35. Интегрируемые по Лебегу функции и их свойства

Определение. Функция называется интегрируемой (по Лебегу), если существует последовательность интегрируемых ступенчатых функций, которые равномерно сходятся к функции : на .

Совокупность всех интегрируемых функций обозначается .

Свойства интегрируемых функций.

1., :

.

2.

, на .

3. , то есть .

4.

36. Определение интеграла Лебега. Корректность определения

Определение. Интегралом Лебега от интегрируемой функции называется число, обозначаемое

(1)

где - последовательность ступенчатых интегрируемых функций, равномерно сходящихся к функции .

Для доказательства корректности определения интеграла нужно доказать, что существует предел

Обозначим . Необходимо доказать, что - фундаментальная последовательность.

(2)

. Тогда из (2) получим , . Таким образом, .

Это означает, что если последовательность фундаментальная.

Так как полно, то последовательность сходится, следовательно, существует и он конечен, значит определение корректно.

37. Св-ва интеграла лебега

Свойства интеграла Лебега.

1. .

Д-во:

2. .

Д-во. Берем . Для них верно

а значит 2 док-но.

3. Линейность.

.

4. .

5. Если f  g , т.е. они равны друг другу почти всюду, и существует , то также существует, причем

,

Если f  g , т.е. существует . Тогда

, т.к. интеграл по множеству меры 0 равен 0.

Отношение называется отношением эквивалентности, если оно удовлетворяет :

  1. f  f(рефлексивность);

  2. f  g gf (симметричность)

  3. f  g ,gh  fh (транзитивность)

Проверим выполнение условие 3).

f  g , это значит,

gh , это означает,

т.е.

Отметим, что измеримо,т.к. сумма двух измеримых мн-в образует алгебру.

Поэтому в силу f(x)=g(x) и g(x)=h(x) следует f(x)=h(x).

Совокупность пространств по эквивалентности называется фактор-пространством . Будем называть пр-вом интегрируемых ф-ций на мн-ве Х.

38.

39.

40.

41.

42.