13. Теорема (о кольце порожденном полукольцом )

Если S – полукольцо то K(s) – кольцо .

Док-во

Пусть , где

Рассмотрим и покажем что

I. , покажем что

Будем доказывать методом мат. индукции (индукцию проводим по n):

1. n=1 где

2. Пусть наше утверждение верно при n-1 т.е.

покажем что оно справедливо и для n:

тогда можно записать:

т.о. можно записать

из справедливо :

I I. Тогда

Т.о. показано что

Тогда :

Мы доказали что и : -- кольцо.

множества которые принадлежат K(s) называются элементарными множествами.

14. Теорема о распространении мера с полукольца на кольцо

Пусть мера  задана на полукольце , тогда мера  единственным образом распространяется на порождаемое кольцо К(), а именно

(1)

Д-во:

Для возьмем , тогда ,

где - распространение (расширение) прежней меры

Если , то по (1) получаем

(2)

Определение, которое дается формулой (1), корректно, т.к. правые части (1) и (2) равны. Проверим это.

Введем обозначение , . Части не пересекаются. Рассмотрим

Рассмотрим правую часть (1), т.е.

Таким образом, мы доказали, что правые части (1) и (2) равны.

Будем говорить, что - мера на кольце K(S). Докажем, что эта мера неотрицательна и аддитивна.

Доказательство.

1. То, что она неотрицательна из (1) как сумма неотрицательных чисел,

2. 

Докажем это.

Т.к. по условию , то их части тоже не пересекаются, т.е.

т.е. - мера на кольце (является расширением первоначальной меры на ).

15.

16. σ – аддитивные меры и их свойства

Определение. Мера , заданная на , называется - аддитивной, если ; причем , то .

, возьмем точку и определим меру :

Тогда называется атамарной мерой, сосредоточенной в точке .

Покажем, что это мера. Проверим аксиомы.

1. Неотрицательность следует из определения, т.е.

2. Проверим выполнение условия аддитивности.

Докажем, что

1. Пусть , тогда или .

Пусть , тогда и . В противном случае получаем и или .

2. , тогда , но , значит, т.к. , то и , то .

является мерой.

Пусть .Докажем, что -аддитивная мера.

Для доказательства необходимо рассмотреть два случая:

1)

верно равенство

2)

верно равенство

Доказали, что любая атамарная мера является -аддитивной мерой.

17.