1.1.5. Свойства булевых операций над множествами

Коммутативность

, .

Ассоциативность

, .

Идемпотентность

, ,

, ,

, .

Дистрибутивность

), .

Теоремы А. Де Моргана

, ,

Инволюция

.

Аналитическое доказательство справедливости приведенных формул может опираться на доказательство равенства двух множеств. Однако, проще проиллюстрировать свойства булевых операций, используя диаграммы Эйлера–Венна. Например, справедливость теорем де Моргана вполне очевидна прямо из рисунка 1.4.

Рис. 1.4.

1.2. Отношения

Отношения – один из способов задания взаимосвязей между элементами множества. Наиболее изученными и чаще всего используемыми являются так называемые унарные и бинарные отношения.

Унарные (одноместные) отношения отражают наличие какого–то определенного признака у элементов множества (например, «быть белым» на множестве шаров в урне). Тогда все элементы из , которые отличаются данным признаком , образуют некоторое подмножество в , называемое унарным отношением , т.е. и .

Прежде, чем рассматривать бинарные или двухместные отношения введем понятия упорядоченной пары и прямого произведения множеств.

Пусть и элементы множеств и , соответственно. Тогда через будем обозначать упорядоченную пару, причем, в общем случае, .

Пусть и – два множества. Прямым (декартовым) произведением двух множеств и называется множество всех упорядоченных пар, в котором первый элемент каждой пары принадлежит, а второй принадлежит :

.

Пример. Классическим примером упорядоченных пар могут служить координаты точек на плоскости. Если координаты принадлежат области вещественных чисел, то прямое произведение содержит бесконечное множество упорядоченных пар – координат всех точек плоскости. Если координаты определены на множестве целых чисел и рассматриваемая область плоскости ограничена, то прямое произведение будет содержать конечное множество упорядоченных пар.

Бинарным или двухместным отношением называется подмножество упорядоченных пар прямого произведения , т.е. .

Часто бинарные отношения используются для определения каких–то взаимосвязей, которыми характеризуются пары элементов в одном множестве . Так на множестве студентов группы могут быть заданы такие бинарные отношения как «жить в одной комнате общежития», «быть моложе», «быть земляком» и т.д. Тогда все пары элементов из , между которыми имеет место данное отношение , образуют подмножество пар из множества всех возможных пар элементов , называемое бинарным отношением R, т.е. . Наравне с обозначением в литературе используется обозначение

В общем случае могут рассматриваться n–местные отношения, например, отношения между тройками элементов (триарные) и т.д.

Пусть определено в соответствии с рисунком 1.5, из которого следует, что в отношении задействованы не все, а лишь некоторые элементы исходных множеств и . Тогда подмножество называется областью определения отношения , а подмножество – областью значений. Иначе можно записать , .

Рис. 1.5.