3.1.3. Операции над частями графа

Определение. Граф называется частью графа (или частичным графом), , если множества его вершин и ребер содержатся в множествах и , соответственно.

Пример. Пусть задан н–граф – схема железных дорог РФ. Здесь роль вершин играют железнодорожные станции, роль ребер – перегоны. Частичным графом можно считать схему электрифицированных железных дорог РФ.

Рассмотрим некоторые частные случаи частичных графов.

Если , то граф называется суграфом графа . Суграф содержит все те же вершины, что и граф , но отличается от него количеством ребер. Например, нулевой суграф схемы железных дорог РФ содержит только железнодорожные станции.

Подграфом графа с множеством вершин называется часть графа, которой принадлежат все ребра с обоими концами из .

Пример. Схема железных дорог Томской области является суграфом схемы железных дорог РФ.

Над частями графа могут производиться следующие операции:

Дополнение к части графа определяется множеством всех ребер графа , не принадлежащих : .

Сумма частей и графа :

и .

Произведение частей и графа :

и .

3.1.4. Маршруты, пути, цепи, циклы

Пусть – неориентированный граф. Маршрутом в называется такая последовательность ребер , в которой каждые два соседних ребра и имеют общую вершину. В маршруте одно и то же ребро может встречаться несколько раз. Вершина - начало маршрута. Она инцидентна и не инцидентна .

Маршрут, у которого начало и конец совпадают, называется циклическим. Маршрут, в котором все ребра разные, называется цепью. Цепь, не пересекающая себя, т.е. не имеющая повторяющихся вершин, называется простой цепью.

Циклический маршрут называется циклом, если он является цепью, и простым циклом, когда это – простая цепь.

Вершины называются связанными, когда существует маршрут с началом и концом . Связанные маршрутом вершины связаны также и простой цепью. Отношение связности вершин обладает свойствами эквивалентности (см. раздел 1.2.3) и определяет разбиение множества вершин графа на непересекающиеся подмножества . Граф называется связным, если все его вершины связаны между собой. Поэтому все подграфы связны и называются связными компонентами графа. Каждый н–граф распадается единственным образом в прямую сумму своих связных компонент .

Пример. Для вершин 1 и 6 графа , приведенного на рисунке 3.5, привести примеры маршрута, цепи, простой цепи; определить на графе циклический маршрут, цикл, простой цикл, приняв вершину 1 за их начало и конец.

Маршрутом является последовательность ребер – . Цепью – .

Простой цепью – .

Циклическим маршрутом (и одновременно циклом) является последовательность ребер .

Простым циклом – .

Пусть – ориентированный граф. Последовательность дуг, в которой конец каждой предыдущей дуги совпадает с началом следующей , называется путем. (Дуги проходятся по направлениям их ориентации). В пути одна дуга может встречаться несколько раз.

Путь называется ориентированной цепью (или просто цепью), если каждая дуга встречается не более одного раза, и простой цепью, если не имеет повторяющихся вершин.

Замкнутый путь называется контуром. Контур называется циклом, если он является цепью, и простым циклом, когда это – простая цепь.

Вершина называется достижимой из вершины , если существует путь .

Орграф называют связным, если он связен без учета ориентации дуг, и сильно связным, если из любой его вершину в любую существует путь.

Число ребер (дуг) маршрута (пути) называется его длиной.

Расстоянием между вершинами и н–графа называется минимальная длина простой цепи между и . Центром называется вершина н–графа, от которой максимальное из расстояний до других вершин минимально. Максимальное расстояние от центра графа до его вершин называется радиусом графа .

Пример. Определить, какой из приведенных на рисунке 3.6 орграфов является связным? Какой из них является сильно связным? Для каждого из приведенных графов найти, если это возможно, ориентированный путь длины 2, ориентированный путь длины 3, ориентированный путь длины 4, ориентированный путь длины 5. Какой самый длинный простой цикл может быть построен?

Рис. 3.6.

Ответ. Связными являются графы . Граф несвязен и включает два компонента.

Граф не является сильно связным, так как, например, из вершины нельзя выйти, двигаясь по направлениям дуг. Граф также не является сильно связным, так как из его правой части (вершины ) нельзя попасть в левую. Граф сильно связен, так как не содержит недостижимых вершин.

Пример. Для связного н–графа на рис. 3.7 определить расстояния между вершинами. Какая вершина является центром графа? Чему равен радиус графа?

Расстояния между вершинами графа:

(1,3) – 1; (1,2) – 1; (1,4) – 1; (1,5) – 2; (2,3) – 1; (2,4) – 1; (2,5) – 2; (3,4) – 1, (3,5) – 2, (4,5) – 1.

Центром графа является вершина 4, так как для нее максимальное расстояние от всех других вершин минимально и равно 1. Радиус графа равен 1.