2.1.3. Основные логические операции

Операция, заданная на некотором множестве, называется унарной, если она действует на один элемент этого множества и ее результатом является элемент этого же множества. Основная унарная операция – отрицание (инверсия).

Отрицанием высказывания называется высказывание, истинное, когда высказывание ложно, и ложное в противном случае. Обозначение отрицания – .

Остальные операции, о которых далее говорится, – бинарные. Операция, заданная на некотором множестве, называется бинарной, если она действует на два элемента этого множества и ее результатом является элемент этого же множества.

Коньюнкцией (операцией “И”, логическим произведением) двух высказываний и называется высказывание, истинное, когда оба высказывания истинны, и ложное во всех других случаях. Обозначения: .

Пример: Высказывание «На улице дождь со снегом» можно рассматривать как коньюнкцию двух простых высказываний – «на улице идет снег», «на улице идет дождь».

Дизъюнкцией (операцией «ИЛИ», логической суммой) двух высказываний и называется высказывание, ложное, когда оба высказывания ложны, и истинное во всех других случаях. Обозначения: .

Пример: высказывание «идет дождь или снег» также состоит из двух простых высказываний соединенных логической связкой «или». Его можно записать логической формулой и оно истинно, если истинно хотя бы одно простое высказывание, или оба вместе.

Импликацией (логическим следованием) двух высказываний и называется высказывание, ложное, когда истинно, а ложно; во всех других случаях – истинное. Обозначение . Здесь высказывание называется посылкой импликации, а высказывание – заключением (выводом).

Понятие импликации несколько сложнее для понимания, чем ранее рассмотренные операции. Из двух высказываний и можно составить высказывание « влечет » (другие варианты: «из следует », «если , то »).

Предположим, отец говорит сыну: Если сдашь все экзамены на «отлично», куплю тебе машину». Спрашивается, при каких условиях отец говорит правду? Пусть – утверждение «Сдашь все экзамены на «отлично», – «Куплю тебе машину». Если и истинны, то все понятно. Сын сдает экзамены на «отлично», а отец выполняет свое обещание. Также точно все ясно со случаем, когда и ложны. Сын не выполнил условий, соответственно отец свободен от обязательств.

Пусть сын не получил отличных оценок, но отец тем не менее купил ему машину. Отца можно обвинить в непоследовательности, но нельзя назвать лжецом. И лишь в одном случае, когда истинно (сын получил отличные оценки), а ложно (отец не купил машину) можно считать, что отец солгал. Важно, однако, понимать, что операция не обязательно носит причинно–следственный характер. Истинность приведенных ниже сложных высказываний зависит только от истинности их частей и не зависит от наличия связей между ними.

Пример: «если 2*2=4, то Москва – столица России» – истинно;

«если 2*2=5, то Москва – столица России» – истинно;

«если 2*2=5, то Москва – столица США» – истинно;

«если 2*2=4, то Москва – столица США» – ложно.

Анализируя истинность данных высказываний, необходимо отвлечься от их смысла, а обращать внимание только на форму. Все высказывание ложно, если посылка истинна, а вывод ложен.

Эквивалентностью двух высказываний и называется высказывание, истинное, когда истинностные значения и совпадают, и ложное в противном случае. Например, эквивалентность может быть использована для записи в виде логической формулы высказывания «Что в лоб, что по лбу». Обозначив А – «в лоб», Б – «по лбу» получим общую формулу .

Неравнозначностью (исключающим «ИЛИ», сложением по модулю 2) двух высказываний и называется высказывание, истинное, когда истинностные значения и не совпадают, и ложное в противном случае.

Пример: Высказывание «сегодня понедельник или вторник» истинно, если истинно «сегодня понедельник» или «сегодня вторник». Из смысла самого высказывания должна использоваться именно операция «исключающее ИЛИ», так как данные простые высказывания не могут выполниться одновременно.

Примеры.

1. Правило заключения, формулируемое как «Если из высказывания следует высказывание и справедливо высказывание , то справедливо », может быть записано логической формулой .

2. Аналогично, правило отрицания «Если из высказывания следует , но высказывание неверно, то неверно » в виде логической формулы выглядит .

3. Пусть имеем сложное высказывание «Если при выполнении программы отклонение контролируемых параметров превышает предусмотренные нормы, то требуется оперативная корректировка программы или уточнение стандартов». Введя логические переменные: – «отклонение контролируемых параметров превышает предусмотренные нормы», – «требуется оперативная корректировка программы», – «требуется уточнение стандартов», получим следующую логическую формулу – .

Как и в непрерывной математике, для сокращения числа скобок при записи формул придерживаются следующих соглашений по приоритетам операций:

• предполагается, что последовательность связок одного типа, записанная без скобок, вычисляется слева направо;

• принимается, что при отсутствии скобок высшим приоритетом обладает отрицание, затем следуют конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквивалентность и в формуле опускаются те скобки, без которых возможно восстановление формулы с учетом данной субординации связок.

Пример. Формула может быть записана

Логические функции трех и более переменных также могут задаваться таблицами истинности, или формулами, состоящими из символов переменных и знаков унарных и бинарных логических операций. Таким образом, формула наряду с таблицей служит способом задания и вычисления функций. В общем случае формула описывает логическую функцию как суперпозицию других более простых функций.

Пример: составить таблицу истинности функции и трех переменных, заданной формулой . Для построения таблицы истинности вычислим ее значение на каждом из 8 наборов значений.

Таблица 2.3.

000	1	1	0	0
001	1	1	0	0
010	1	1	0	0
011	1	1	0	0
100	0	0	0	1
101	0	0	1	1
110	0	1	0	0
111	0	1	1	1