Лабораторная работа №17. Анализ экономико-исторических явлений статистическими моделями

Известно, что историческая наука должна не только фиксировать во времени факты из жизни общества, но и устанавливать причинно - следственные связи, приводящие к тем или иным историческим явлениям. Процесс анализа причинно – следственных связей должен основываться на количественных соотношениях, отражающих сущность исторических явлений. В таком случае указанный анализ будет беспристрастным, т.е. исключающим субъективизм того или иного исследователя.

Переход к беспристрастному анализу исторических фактов связан с их формализацией, т.е. установлению количественной меры того или иного явления и последующим представлением характера явления в форме математического закона.

Для иллюстрации принципа формализации исторических явлений рассмотрим данные об аграрном развитии 50 губерний Европейской России на рубеже XIX - XX веков (табл.1)

Таблица 1

№	Губерния	Посев на душу (дес)
1	Архангельская	0,19		26	Подольская	0,66
2	Московская	0,35		27	Виленская	0,67
3	Олонецкая	0,37		28	Черниговская	0,69
4	Астраханская	0,38		29	Уфимская	0,71
5	Петербургская	0,42		30	Полтавская	0,73
6	Вологодская	0,45		31	Рязанская	0,75
7	Новгородская	0,48		32	Курляндская	0,76
8	Калужская	0,5		33	Орловская	0,81
9	Тверская	0,5		34	Казанская	0,86
10	Киевская	0,52		35	Курская	0,87
11	Ярославская	0,52		36	Тамбовская	0,88
12	Псковская	0,54		37	Воронежская	0,89
13	Могилевская	0,56		38	Тульская	0,9
14	Эстляндская	0,56		39	Харьковская	0,9
15	Владимирская	0,57		40	Симбирская	0,91
16	Волынская	0,57		41	Оренбургская	0,94
17	Смоленская	0,58		42	Пензенская	0,94
18	Гродненская	0,59		43	Бессарабская	0,99
19	Витебская	0,6		44	Вятская	0,99
20	Минская	0,6		45	Саратовская	1,06
21	Ковенская	0,61		46	Самарская	1,14
22	Костромская	0,64		47	Екатеринославская	1,26
23	Пермская	0,64		48	Донская	1,55
24	Нижегородская	0,65		49	Херсонская	1,62
25	Лифляндская	0,66		50	Таврическая	1,95

Данная таблица обладает только тем свойством, что названия губерний представлены в алфавитном порядке, а данные по количеству десятин посевной земли на душу населения представлены в хаотическом виде. Из этих хаотически представленных данных невозможно установить их влияние на ход исторических процессов в Европейской части России.

Обозначим через x «посев на душу в десятинах» эту величину примем в качестве количественного признака губерний. Если сгруппировать губернии из таблицы 1 по числовым значениям этого признака, то после выявления общих исторических событий внутри сгруппированных указанным образом губерний можно установить влияние признака х как причины на характер тех или иных исторических событий.

Этот анализ можно произвести с использованием программы MS Excel. Для проведения указанного анализа фактические данные таблицы 1 необходимо ввести в память ПК. Это можно сделать вводом данных с клавиатуры, но это трудоемко.

Во избежание ошибок при ручном вводе с клавиатуры произведем сканирование таблицы 1

▲ Ввод данных с помощью FineReader

Процесс ввода данных можно частично автоматизировать, для чего необходимо воспользоваться сканером и программой по распознаванию текста. Самой распространенной такой программой является продукт компании ABBYY под названием FineReader. Предпочтительно использовать поздние версии: 5.0, 6.0 или выше.

Процесс оцифровки изображения текста и его распознавания можно условно разделить на ряд макроэтапов:

1. Запуск FineReader

2. Ввод изображения – сканирование. Процесс сканирования в общих чертах похож во всех типах интерфейсов сканеров. Как правило, он состоит из 3 этапов:

• Предварительное сканирование – делается с целью определения области сканирования и его параметров (разрешение, муар, цветность и проч.) В случае многостраничного сканирования (одинаковые параметры страницы) первый макроэтап остается одинаковым для всех сканов.

• Собственно сканирование – сканирование с рабочими параметрами выделенной области изображения

• Экспорт или сохранение полученного изображения данных. В нашем случае осуществляется автоматический экспорт данных в FineReader

3. Сегментация изображения и определения его принадлежности к определенной категории. В нашем случае это таблица

4. Распознавание изображения.

5 . Экспорт полученных данных. В нашем случае – это MS Excel. В ячейке С1 «посев на душу населения» необходимо заменить символом x.

Возможно, полученные данные будут нуждаться в правке вследствие ошибок в распознавании. (рис. 1)

Введенный список ранжирован по возрастанию признака x в столбце С рабочего стола программы Excel (Лист 1) величины x изменяются от минимального x_min=0,19 (ячейка С2) до максимального x_max=1,95 (ячейка

С51). Теперь весь ряд числовых значений x разобьем на десять интервалов и выберем ширину интервала d согласно следующей формулы:

Для вычисления d в ячейку D1 введем формулу: =(F51-F2)/10. Нажмем Enter. После чего в ячейке D1 получим значение d равное 0,176.

Переходим на Лист 2 Excel. В ячейку А1 помещаем символ i, означающий номер интервала, в ячейки – B1 и С1 символ d, в ячейку D1 - символ x, означающий число стоящее в середине i-го интервала, в ячейку Е1 - n, определяющее число губерний попавших в i-й интервал и, наконец, в ячейку F1 – частоту p, т.е. относительную величину n_i.

Для автоматического заполнения столбца А (Лист 2) необходимо ввести в ячейку А2 значение 1, в ячейку А3 значение 2. Затем выделить ячейки А2 и А3 и, «ухватившись» курсором за маркер виде черного квадратика (при наведении курсор превращается в черный крестик) в нижнем правом углу выделения, «протащить» выделение до ячейки А11. Эта операция называется автозаполнение ячеек. В данном случае мы задали алгоритм простой последовательности чисел, указав ряд чисел 1, 2.

Теперь нам необходимо создать первую последовательность d, которая представляет собой числовую последовательность и 10 членов, где каждое последующее число больше предыдущего на величину d, а первый член равен 0,19.

Для реализации этого необходимо внести в ячейку B2 значение 0,19, а в B3 формулу: =$B$2+(Лист1!$D$1*Лист2!A2). Примените автозаполнение до ячейки B11. В синтаксисе формулы встречается значок $ - этот условный символ в Excel означает придание свойства неизменности параметру, стоящего после него. Эта неизменность проявляется при использовании функции автозаполнение. Проследив зависимость в формуле, можно понять алгоритм вычислений.

Вторая последовательность d (столбец С) аналогична первой за исключением того, что она начинается со значения 0,366, и ссылка на ячейку в формуле изменилась: =$С$2+(Лист1!$D$1*Лист2!A2) (с В на С).

Перейдем к последовательности x_i (столбцу значений D). Последовательность будет представлять собой ряд средних арифметических значений из столбцов В и С по строке. Для реализации этого алгоритма внесём в ячейку D2 формулу: =(B2+C2)/2 и применим автозаполнение до ячейки D11.

Число x_i называют статистическим числом, так как оно эквивалентно всем числам попадающим в i-ый интервал. Для вычисления чисел n_i (столбец Е) необходимо осуществить счет числа губерний, попадающих в i-ый интервал.

Чтобы осуществить расчет мы воспользуемся алгоритмом, состоящим из нескольких шагов.

▲ Алгоритм расчета числа значений, попадающих в определенный интервал

Шаг 1. Выделим ячейки С2:С11 на Лист2 («:» условно обозначает интервал ячеек). Выполним операцию копирования воспользовавшись, например, «горячими» клавишами Ctrl+C («+» - одновременное нажатие). Щёлкнем по ячейке С13 правой клавишей и в появившемся контекстным меню выберем «Специальная вставка». В появившемся окне «Специальная вставка» выберем в поле «Вставить» радиокнопку значения. В поле «Операция» поставим галочку транспонировать. Столбец С2:С11 превратился в строку C13:L13. Назовем этот метод методом транспонированной вставки.

Шаг 2. Перейдем на Лист 1. В ячейку Е2 внесём формулу: =ЕСЛИ(Лист2!C$13>=Лист1!$C2;1;0). Формула определяет значение ячейки 1, в случае если ячейка С13 больше или равна ячейке С2, в противном случае 0. Вставленные символы $ в формулу позволят нам применить функцию автозаполнения, сохраняя необходимый нам адрес ячейки.

Применим функцию автозаполнения сначала в интервале E2:N2, а затем, сохранив выделение, протащим его вниз до ячейки N51. (Рис. 2)

Р ис.2.

Шаг 3. Выделим ячейку Е52 и нажмем значок суммы на панели инструментов. Автоматически по столбцу E посчитается сумма. Применим автозаполнение по строке до ячейки N51. В ячейку Е53 внесём формулу: =E52-D52. Применим автозаполнение до ячейки N53. Теперь эта строка содержит количество попавших в определённый интервал значений. (Рис.3)

Рис.3

В оспользуемся методом транспонированной вставки для переноса значений из строки E53:N53 (Лист1) в столбец E2:E11 (Лист 2).

Таким образом, мы получили значения для n_i.

Выделим ячейку E12 нажмем значок суммы на панели инструментов. Ячейка заполнится значением 50 - N.

Вычисление частот p_i попадения губерний в i-ый интервал осуществляется по формуле

Для реализации этого, введём в ячейку F2 формулу: =E2/E$12. Применим автозаполнение до ячейки F11. (Рис.4)

Рис.4

Здесь столбцы D и F представляют ряд распределения статистической величины x_i, т.е. таблицу значений этой величины и частоты p_i их появления. Указанный ряд распределения характеризуется математическим ожиданием:

и средним квадратическим отклонением равным

В случае нормального закона распределения статистической величины xвеличина расположена посередине всего интервала изменения числовых значений x. В этом случае есть в тоже время и наиболее вероятная величина.

Величина же определяет меру рассеяния величин xот наиболее вероятной величины . Кривая нормального закона обладает таким свойством, что для нее мера рассеяния определяется двумя точками на числовой оси, определяемыми как .

▲Вычисление значений

Шаг 1. Для вычисления математического ожидания – величины необходимо создать алгоритм Excel как реализацию формулы (3).

С этой целью внесём в ячейку G1 обозначение столбца «x_i*P_i». В ячейку G2 внесём формулу: =D2*F2, применим автозаполнение до ячейки G11.

Для вычисления выделим ячейку G12 и нажмем значок суммы на панели инструментов Стандартная, произойдет автоматическое суммирование по столбцу G. Получившийся результат – значение .

Шаг 2. Вычисление необходимо осуществлять в несколько этапов.

• В ячейку Н1 введём обозначение столбца . В ячейку Н2 введём формулу: =F2*((D2-G$12)^2) в качестве реализации (4). Применим автозаполнение до ячейки H11.

• В ячейку Н12 введём формулу: =КОРЕНЬ(СУММ(H2:H11)) – расчет корня из суммы по столбцу Н. Получившийся результат – значение .

(Рис.5).

Столбцы D и Е (рис. 5) позволяют табличный ряд распределения статистической величины представить графически в виде так называемого многоугольника распределения.

▲ Построение многоугольника распределения статистической величины.

Для этого:

• Нажмем значок Мастер диаграмм на панели инструментов Стандартная.

В поле Тип выберем третий вариант, в Вид – четвертый. Шаг 1 из 4. (рис.6)

Рис. 6

• Н ажимаем Далее. В поле Диапазон укажем: =Лист2!$F$2:$F$11 (можно просто выделить на листе). Перейдем на вкладку Ряд. В поле Подписи оси X укажем: =Лист2!$D$2:$D$11 (можно просто выделить на листе). Шаг 2 из 4. (Рис. 7).

Р ис.6

Р ис.7

• Нажимаем Далее. Переходим на закладку Заголовки. В поле Название диаграммы внесем: Многоугольник распределения случайной величины. Внесём обозначение осей xi и pi. На закладке Легенда снимем галочку Добавить легенду. Шаг 3 из 4.

• Нажимаем Далее. В появившемся поле Поместить диаграмму на листе выберем отдельном. Шаг 4 из 4. Сделать на графике необходимые пометки можно с помощью панели Рисование. (Рис. 8)

На рисунке 8 по оси абсцисс отложена величина посева на душу в десятинах в губерниях Европейской части России, а по оси ординат – p_i, как относительная величина числа губерний, обладающих признаком x. Если принять, что ломаная линия этого рисунка близка к кривой нормального распределения, то на оси абсцисс, данной ломанной можно выделить три точки: величину математического ожидания и ещё две точки и .

Указанные точки распределяют губернии на малоземельные или бедные (), тяготеющие к бедным (),тяготеющие к богатым () и многоземельные или богатые ().

Перейдём на Лист 1 и в соответствии с указанными интервалами определим перечни губерний, относящихся к категориям. Для этого в Excel предусмотрена функция Автофильтр.

▲ Применение функции Автофильтр.

1. Вычислим опорные точки интервалов. В ячейку E1 на Лист1 введём формулу: =Лист2!G12-Лист2!H12. Формула ссылается на Лист2 и вычисляет разницу . Далее ячейка F1 содержит формулу =Лист2!G12 - прямая ссылка на значение . Ячейка G1 содержит формулу =Лист2!G12+Лист2!H12 реализуя . Ячейка H1 содержит формулу =Лист2!C11. Таким образом, строка содержит опорные точки интервалов.

2. Выделим ячейки А1:С1 и выполним команду Данные – Сортировка. Ячейки отметились символом - означает включенный режим автофильтрации.

• Нажмем его в ячейке С1 и выберем меню Условие. Это диалоговое окно позволяет осуществить отбор значений, попадающих в заданный интервал. В первом поле выберем меньше или равно. Во втором поле укажем значение из ячейки Е1 (рис. 9).

Рис. 9

Нажмем ОК и получим список значений, удовлетворяющий введенному условию:

1	Архангельская	0,19
2	Московская	0,35
3	Олонецкая	0,37
4	Астраханская	0,38
5	Петербургская	0,42

Скопируем этот список B2:B6 на Лист3 в ячейки А1:A6 (оставим первую строку для обозначения рядов)

• В меню Автофильтр из ячейки С1 выберем (Все), а затем (Условие).

В первом поле выберем Больше, во втором введем значение из ячейки Е1. В третьем поле выберем меньше или равно, в четвертое поле значение из ячейки F1 (рис.10).

Рис. 10

Нажмем ОК и получим список значений, удовлетворяющий введенному условию:

6	Вологодская	0,45
7	Новгородская	0,48
8	Калужская	0,5
9	Тверская	0,5
10	Киевская	0,52
11	Ярославская	0,52
12	Псковская	0,54
13	Могилевская	0,56
14	Эстляндская	0,56
15	Владимирская	0,57
16	Волынская	0,57
17	Смоленская	0,58
18	Гродненская	0,59
19	Витебская	0,6
20	Минская	0,6
21	Ковенская	0,61
22	Костромская	0,64
23	Пермская	0,64
24	Нижегородская	0,65
25	Лифляндская	0,66
26	Подольская	0,66
27	Виленская	0,67
28	Черниговская	0,69
29	Уфимская	0,71
30	Полтавская	0,73
31	Рязанская	0,75

Скопируем этот список по столбцу В на Лист3 в ячейки С2:С27 (оставим первую строку для обозначения рядов).

• Аналогично применяя алгоритм для следующих двух интервалов и копируя полученный результат на Лист3, мы получим следующие данные (столбцы названы в соответствии со смысловым значением интервала) (рис.11):

Рис. 11

Интерпретация и анализ полученных результатов

Полученная таким образом систематизация губерний Европейской части России может дать объяснения тех революционных событий, которые начались с малоземельных губерний (Московская, Петербургская) и которые разрушили Российскую империю.

Действительно, если бедные губернии объединить с тяготеющими к бедным, то получим 62 % губерний по экономическому признаку количества десятин земли на душу относились к потенциально неблагополучным губерниям.

В таких условиях лозунг большевиков – «земля народу» был брошен на неблагополучную среду и привел к разрушительным последствиям для России.

Далее число бедных и богатых губерний оказалось равным, но в число неблагополучных губерний вышли густонаселенные Московская и Петербургская губернии, в которых, кроме того, была сосредоточена демократически настроенная интеллигенция и студенчество.

Из истории также известно, что в период гражданской войны (1917-1920г.г.) в России такая богатая губерния как Донская была оплотом казачества, которое активно сопротивлялось установлению Советской власти на этой территории.

Лабораторная работа № 18. Метод Эйлера приближённого интегрирования дифференциального уравнения у' = f (х,у).

Начало численным методам интегрирования задачи Коши дифференциальных уравнений было положено Л. Эйлером в 1768г. В дальнейшем метод Эйлера усовершенствовался и уточнялся. Основной недостаток этих методов – их невысокая точность. Метод Эйлера – одношаговый методы не требуют предварительного построения начала таблицы значений приближенного решения, что дает возможность проводить вычислительный процесс с естественными начальными условиями и переменным шагом...

Р ассматриваемые методы приближенного интегрирования ДУ основаны на тождестве:

Пользуясь какой-либо квадратурной формулой для вычисления интеграла, получим различные формулы численного решения ДУ.

Метод Эйлера заключается в том, что интегральную кривую, проходящую через точку (х_оу_о), заменяют ломаной, каждое звено которой

проведено по направлению поля, определённого уравнением у' = f (х,у) в начальной точке этого звена. Иными словами, от предыдущей вершины ломаной к последующей двигаются по касательной к интегральной кривой, проведённой через начальную точку каждого звена.

Предположим, что нас интересует решение, отвечающее отрезку [х_о,b].

Разделим его на п равных частей

тогда ломаная Эйлера определится вершинами

(k= 0, 1, 2, ..., п),

где , - шаг деления,

Расчёт ведётся по следующей схеме:

k
0
1
2
…..	…………	…………	………….	…………..
k
…..
n-1
n

С увеличением числа делений, т.е. с уменьшением шага h, последовательность ломаных Эйлера как угодно близко приближается к искомой интегральной кривой. Но при этом увеличивается время вычислений и возрастает погрешность за счет ошибок округления. На практике задачу решают несколько раз, постепенно уменьшая шаг до тех пор, пока отклонения вычисленных значений функции для одних и тех же значений аргумента не станут пренебрежимо малы с точки зрения вычислителя.

Пример. Используя метод Эйлера, найти значения функции y, определяемой дифференциальным уравнением , при начальном условии y(0)=0, шаг h = 0,1.

Ограничиться отысканием первых 10 значений y.

Ход работы.

1. Включите компьютер, нажмите кнопку Пуск , выберите программу Microsoft Excel.

2. В ячейку A1 введите значение 0.

3. Используя автозаполнение введите значения в ячейки А2 - А6.

4. В ячейки В1 – Е1 введите заголовки :

5. В ячейку В2 введите значение Х_0.

6. В ячейку В3 введите формулу =B2+0,1 и далее продолжите автозаполнением до ячейки В11, заданный шаг h=0,1.

7. В ячейку С3 введите значение y_0.

8. В ячейку С3 введите формулу =C2+0,1*(2*B2-C2) и далее автозаполнением до ячейки С11.

9. В меню Формат ячейки, на вкладке Число выберите Числовой формат, и кол-во знаков после запятой 2. Щелкните ОК.

10. В ячейке D2 вводим: =2*B2-C2 и делаем автозаполнение до D10 .

11. В ячейке E2 вводим формулу: =0,1*(2*B2-C2) и делаем автозаполнение до E10

12. Выбираем Формат - Диаграммы. Выберите тип График с накоплением и нажмите Далее.

13. Укажите диапазон от C2 до C11 и ряды в столбцах.

14. Далее выбираем вкладку Ряд. Введите в поле Подписи оси X промежуток от B2 до B11. Нажмите Далее.

15. Сделайте все необходимые подписи к диаграмме. Нажмите Далее.

16. Нажмите Готово.

17. Д ля повышения точности расчета уменьшим шаг вычислений. Выполните пп. 1-15 с заданным шагом

Вычисления проводить в ячейках, начиная с F1. Постройте график.

Найдем точное решение данного уравнения:

Данное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Общее решение линейного однородного уравнения:

получается разделением переменных

Где С – произвольная постоянная.

Общее решение неоднородного уравнения находим, исходя из общего решения соответствующего однородного уравнения методом Лагранжа, варьируя произвольную постоянную, т.е. полагая:

где С(x) – некоторая, дифференцируемая функция от x.

Тогда искомое общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид:

Используя начальное условие y(0) = 0, получим:

Следовательно, искомое частное решение имеет вид:

. (*)

Г рафик точного решения имеет вид:

Д ля построения графика точного решения в ячейку Е2 введите формулу (*), используйте автозаполнение. По данным столбца Е постройте график, сравните приближенное решение дифференциального уравнения с точным.

По таблице 1 сравните приближенное значение функции y с точным решением в зависимости от величины шага h.

Таблица 1.