- •Программа:
- •I. Линейная алгебра
- •II. Линейное программирование
- •III. Дифференциальное и интегральное исчисление.
- •IV. Дифференциальные уравнения и численные методы их решения
- •V. Аналитическая геометрия
- •VI. Функции многих переменных и теория поля.
- •VII. Элементы теории множеств
- •VIII. Теория вероятностей и математическая статистика.
- •Распределение по видам нагрузки
- •Учебный план
- •Приложение 1 Домашние задания Домашнее задание № 1. Определители.
- •Домашнее задание №2 Матрицы и операции над ними
- •Домашнее задание №3. Системы линейных алгебраических уравнений.
- •Домашнее задание №4 Область определения. Частные производные. Производная по направлению. Градиент. Дифференциал.
- •Домашнее задание №5. Производные и экстремумы функций.
- •Домашнее задание №6. Теория множеств.
- •Домашнее задание №7. Математическая логика
- •Домашнее задание №8. Теория вероятности и математическая статистика.
- •Домашнее задание №9. Сетевое планирование и управление.
- •Домашнее задание №9. Линейное программирование
- •Приложение 2
- •Семестр I Лабораторная работа №1. Макрокоманды программы Microsoft Excel 2003.
- •1. Макрокоманда: «Включение компьютера и вход в систему».
- •2. Макрокоманда: «Запуск программы Microsoft Excel».
- •3. Макрокоманда: «Выбор активного листа».
- •4. Макрокоманда: «Занесение целых чисел в ячейку».
- •5. Макрокоманда: «Занесение целых чисел в диапазон ячеек».
- •6. Макрокоманда: «Занесение десятичных дробей в ячейку».
- •7. Макрокоманда: «Занесение десятичных дробей в диапазон ячеек».
- •8. Макрокоманда: «Занесение заголовка в ячейку».
- •9. Макрокоманда: «Активизация диапазона ячеек».
- •10. Макрокоманда «Сортировка данных».
- •11. Макрокоманда: «Активизация несвязанного диапазона ячеек».
- •12. Макрокоманда: «Форматирование ширины столбца».
- •13. Макрокоманда: «Форматирование высоты строки».
- •14. Макрокоманда: «Специальная вставка – транспонирование».
- •15. Макрокоманда: «Выбор языка клавиатуры».
- •16. Макрокоманда: «Объединение ячеек».
- •17. Макрокоманда: «Добавление нового листа в рабочую книгу Excel».
- •18. Макрокоманда «Вставка символа».
- •19. Макрокоманда: «Заполнение арифметической прогрессии».
- •20. Макрокоманда: «Закрытие программы Microsoft Excel».
- •21. Макрокоманда «Создание индекса».
- •22. Макрокоманда «Выделение границ ячейки».
- •23. Макрокоманда «Центрирование данных в ячейке».
- •24. Макрокоманда: «Копирование в буфер обмена».
- •25. Макрокоманда: «Построение диаграммы».
- •26. Макрокоманда: «Занесение формул в ячейку».
- •27. Макрокоманда: «Автозаполнение - нумерация».
- •28. Макрокоманда: «Автозаполнение - формула».
- •Лабораторная работа №2. Определители 3-го порядка и их вычисление.
- •Лабораторная работа №3. Вычисление определителей 4-го порядка разложением по элементам любой строки.
- •Лабораторная работа №4. Вычисление определителей 4-го порядка разложением по элементам любого столбца.
- •Лабораторная работа №5 . Словесные алгоритмы линейной алгебры и их реализация в программе Excel.
- •Посчитайте определители следующих матриц:
- •Лабораторная работа №6. Вычисление ранга матрицы.
- •Задания для самостоятельной работы. Н айдите ранги следующих матриц: Лабораторная работа №7. Умножение матриц.
- •Это полезно знать!
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Лабораторная работа №8. Вычисление обратной матрицы.
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Лабораторная работа №9. Решение систем линейных уравнений по формуле Крамера.
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Лабораторная работа № 10. Решение систем линейных уравнений в матричном виде.
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Лабораторная работа № 11. Решение систем линейных уравнений с четырьмя неизвестными методом Гаусса.
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Лабораторная работа № 12. Нахождение собственных значений линейного оператора.
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Лабораторная работа № 13. Логические задачи в алгебре Буля.
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Лабораторная работа № 14. Логические задачи в алгебре Жегалкина.
- •Если записать уравнение в виде
- •Уточнение корня методом проб.
- •Получим таблицу (рис. 15.3)
- •Уточнение корня методом половинного деления.
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Лабораторная работа № 16. Задачи линейного программирования.
- •Задания для самостоятельной работы.
- •Семестр II Лабораторная работа № 2. Изучение числовых последовательностей
- •Задания
- •Лабораторная работа № 6. Численное дифференцирование степенной функции
- •Лабораторная работа №10. Приближенное вычисление определенных интегралов. Формула Симпсона.
- •Лабораторная работа№16. Закон устойчивости частот
- •Лабораторная работа №17. Анализ экономико-исторических явлений статистическими моделями
- •Задание
- •Список литературы
- •Дополнительная литература
-
Это полезно знать!
Приложение Microsoft Excel в отличие от других приложений пакета Office обладает следующим свойством: если при решении задачи будут постоянно выполняться ссылки на ячейки, то в результате мы получим «шаблон» решения однотипных задач. Например, если при решении описанной выше задачи мы выполним транспонирование матрицы В не так, как описано в п. 7, а следующим образом:
-
Выделим область ячеек А22:G26;
-
воспользуемся функцией ТРАНСП, которая находится в мастере функций fx в категории Ссылки и массивы в появившемся диалоговом окне в поле «Массив» выделим область A7:G12;
-
на клавиатуре одновременно нажмём комбинацию клавиш Shift+Ctrl+Enter.
Начиная с п.8 все действия остаются без изменения.
В результате, если нам снова придётся находить произведение матриц размерностей [5x6] и [6x7], то автоматически результаты будут выведены на экран. Например, при нахождении произведения матриц
промежуточные вычисления и результат разу же появляются в ячейках электронной таблицы (см. рис. 7.10).
Рис.
7.10
Задания для самостоятельной работы.
-
Найти произведения матриц в Excel.
-
Вычислить АВ и ВА, если
Лабораторная работа №8. Вычисление обратной матрицы.
Рассмотрим квадратную матрицу
Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если её определитель отличен от нуля и вырожденной, или особенной, если её определитель равен нулю.
Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение
АВ= ВА=Е,
где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.
Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.
Матрица, обратная к А, обозначается через А-1, так что В= А-1. Для матрицы А обратная ей матрица А-1 определяется однозначно.
Справедливы следующие равенства:
(А-1)=(А)-1;
(А-1)-1=А;
(А1А2)-1=А2-1А1-1;
(АТ)-1=(А-1)Т.
Существую несколько способов нахождения обратной матрицы. Рассмотрим один из них – нахождение обратной матрицы путём вычисления алгебраических дополнений. Заключается он в следующем:
пусть нам дана матрица А, имеющая следующий вид:
Предположим, что А0. Построим следующую матрицу С следующим образом:
где Аij – алгебраическое дополнение элемента аij в определителе матрицы А. Очевидно, что для построения матрицы С необходимо сначала заменить элементы матрицы А соответствующими им алгебраическими дополнениями, а затем полученную матрицу транспонировать.
Полученная таким образом матрица С называется присоединённой к матрице А, или союзной с А.
Чтобы получить матрицу А-1, обратную для матрицы А, необходимо каждый элемент присоединённой матрицы С поделить на А, т.е. матрица А-1 будет иметь следующий вид:
Пусть матрица А, имеет следующий вид:
Чтобы найти матрицу А-1, обратную для матрицы А, необходимо:
-
вычислить определитель матрицы (А= -3);
-
найти алгебраические дополнения элементов аij в определителе матрицы А:
-
составить присоединённую матрицу С по формуле (2);
-
разделить все элементы матрицы С на А.
Реализуем вышеизложенный алгоритм нахождения обратной матрицы следующим образом: вначале запишем в редакторе Word присоединенную матрицу С по формуле (2), после чего в программе Excel найдём обратную матрицу А-1 (по формуле (3)) для матрицы А.
Включите компьютер.
Подождите пока загрузится операционная система Windows, после чего откройте окно Microsoft Word.
Вставьте объект Microsoft Equation 3.0.
Перепишем алгебраические дополнения в формульный редактор. Для этого:
запишите алгебраическое дополнение А12., используя шаблон нижних индексов;
вставьте шаблон определителя 3-го порядка в формульном редакторе;
занесите числовые значения определителя в свободные поля;
Повтором предыдущих действий, запишите в редакторе формул дополнения А12-А44 (см. рис. 8.1)
В качестве вычислительного средства воспользуемся инструментами программы Excel.
-
Откройте окно Microsoft Excel.
-
Перепишите матрицу А и формулу (4) из Word в Excel(см. рис. 8.2).
Рис. 8.1 Рис. 8.2
-
Используя функцию МОПРЕД, которая находится в мастере функций ƒх, посчитаем, чему будут равны все алгебраические дополнения. Для этого:
-
активизируйте ячейку D9;
-
выполните нажатие ЛКМ на кнопке ƒх в стандартной панели задач;
-
в окне КАТЕГОРИЯ нажатием ЛКМ выберите МАТЕМАТИЧЕСКИЕ, а в окне ФУНКЦИЯ – МОПРЕД;
-
выделите область A6C8;
-
в
Рис. 8.3
ыполните нажатие ЛКМ на кнопке ОК (рис. 8.3).
Аналогичные действия проделайте со всеми остальными алгебраическими дополнениями, не забывая при этом некоторые из них умножать на число (-1). В результате проделанных действий получим: А11= -45, А12= 20, А13=1, А14=-17, А21=63, А22= -31, А23=1, А24=25, А31= -6, А32=3, А33=3,33Е-16, А34= -3, А41=12, А42= -5, А43= -1, А44=5.
Как вы видите, значение дополнения А33 записано в виде числа с мантиссой. Приведём это число к виду обыкновенной десятичной дроби. Для этого:
-
активизируйте ячейку L17, после чего нажатие ПКМ;
-
на экране компьютера появится контекстное меню;
-
выполните нажатие ЛКМ на слове ФОРМАТ ЯЧЕЕК (рис. 8.4);
Рис. 8.5
Рис. 8.4
-
после появления диалогового окна ФОРМАТ ЯЧЕЕК в окне ЧИСЛОВЫЕ ФОРМАТЫ нажмите ЛКМ на ДРОБНЫЙ, а в окне ТИП – на ПРОСТЫЕ ДРОБИ (рис. 8.5);
-
Рис. 8.6
-
Далее, в тексте задачника, если будут встречаться числа с мантиссой или бесконечные десятичные дроби, то будем пользоваться диалоговым окном ФОРМАТ ЯЧЕЕК, а данную операцию будем обозначать: поменяйте формат ячейки... на ДРОБНЫЙ.
-
Найдём в Excel матрицу А-1, обратную для А. Для этого:
-
заполните ячейки А22D26 значениями алгебраических дополнений, используя формулу (2), т.е., в ячейках А23D26 записана присоединённая матрица С (рис. 8.7).
Рис. 8.7 Рис. 8.8
-
активизируйте ячейку А28 и запишите с клавиатуры в неё формулу: =А23/-3, после чего результат занесите автозаполнением в ячейки В28D28; А29А31 и В29D31 (рис. 8.8).
-
Выделите область А28D31, после чего поменяйте формат выделенных ячеек на ДРОБНЫЙ (см. рис. 8.9).
Рис. 8.9 Рис. 8.10
-
Проверку проделанных вычислений произведём следующим образом:
-
выделите область F28I31;
-
воспользуйтесь функцией МОБР, которая находится в мастере функций ƒх (категория – МАТЕМАТИЧЕСКИЕ);
-
на клавиатуре одновременно нажмите следующую комбинацию клавиш: Shift+Ctrl+Enter.
В результате чего в ячейках появятся следующие значения (рис. 8.10). Полученные значения доказывают правильность произведённых вычислений.