Уточнение корня методом проб.

Пусть корень уравнения (3) отделен на отрезке [a, b], функция f(x) непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения разных знаков. Для уточнения корня будем уменьшать промежуток таким образом: сначала выберем две соседние целочисленные точки, удовлетворяющие названным условиям, затем разобьем отрезок на 10 равных частей и вычислим значение функции f(x) в точках деления. Если значение функции в одной из точек окажется равным 0, то это значение и есть корень уравнения, иначе выбираем две соседние точки, в которых функция имеет значения разных знаков a₁ и b₁, очевидно . Числа a₁ и b₁ можно считать приближенными значениями корня с точностью до 0,1. Среднее арифметическое чисел a₁ и b₁ есть приближенное значение корня с погрешностью, не превышающей 0,05. Аналогично делим отрезок [a₁, b₁] на 10 равных частей и так далее. Процесс продолжаем до тех пор пока не получим значение корня с заданной точностью.

Рассмотрим применение этого метода в нашем примере. Корень уравнения xcosx=0 будем искать на отрезке [0, 1].

10. Откройте Лист 2 в программе Microsoft Excel и в ячейку А2 запишите 0;

11. активизируйте ячейку А3 и запишите в неё формулу: =А2+1/10;

12. автозаполнением заполните ячейки А4А12;

13. активизируйте ячейку В2 и запишите в неё формулу: =А2COS(А2);

14. автозаполнением заполните ячейки В3В12.

Получим таблицу (рис. 15.3)

Рис. 15.3 Рис. 15.4

Легко видеть, что при х=0,7 функция отрицательна, а при х=0,8 – положительна.

15. Повторим действия 6 – 10, заменяя в ячейке А2 число 0 на число 0,7, а в ячейке А3 изменив в формуле 1/10 на 1/100. Легко видеть, что при х=0,73 функция отрицательна, а при х=0,74 – положительна.

16. Еще раз повторим действия 6 – 10, заменяя в ячейке А2 число 0,7 на число 0,73, а в ячейке А3 изменив в формуле 1/100 на 1/1000. Получим таблицу значений (см. рис. 15.4).

Значение можно считать корнем уравнения с точностью до 0,0005.

Уточнение корня методом половинного деления.

Одним из вариантов метода проб является метод половинного деления. Он отличается тем, что на каждом следующем шаге отрезок делится не на 10 частей, а на две. При этом получается последовательность отрезков [a₀,b₀]; [a₁,b₁];…;[a_n,b_n], удовлетворяющих условиям:

f(a_k)f(b_k)<0 (k=0,1,2,3,…)

b_k-a_k= (k=0,1,2,3,…)

a_k<x^*<b_k (k=0,1,2,3,…)

Процесс половинного деления прекращается в двух случаях:

когда середина одного из полученных отрезков окажется корнем уравнения;

когда получим отрезок, длина которого не превосходит заданной точности вычисления. Тогда за приближенное значение корня принимается число x*= с погрешностью, не превышающей .

Метод половинного деления не удобен для вычисления корня “безмашинным” способом, так как требуется выполнение большого объема вычислительной работы, но алгоритм решения этим методом очень прост и легко реализуется с помощью компьютера.

Рассмотрим решение этим методом уравнения xcos(x)=0

Корень уравнения xcos(x)=0 будем искать на отрезке [0, 1]

16. в ячейку А2 занесите число «0», а в ячейку А4 – 1;

17. активизируйте ячейку D3 и занесите в неё формулу: =(А4-А2)/2, после чего нажмите на клавишу Enter;

18. активизируйте ячейку А3 и вставьте в неё формулу: =А2+А3, после чего нажмите на клавишу Enter;

19. активизируйте ячейку В2 и запишите формулу: =А2-cos(А2), нажмите на клавишу Enter;

20. автозаполнением заполните ячейки А3А4.

Таким способом будем продолжать процесс половинного деления, пока в ячейке В39 мы не обнаружим, что число бесконечно мало, т.е равно нулю 9см. рис. 15.5.

Уточнение корня методом касательных (метод Ньютона).

Рис. 15.5

Метод касательных, связанный с именем И.Ньютона, является одним из наиболее эффективных численных методов решения уравнений. Идея метода очень проста. Предположим, что функция f(x), имеющая корень на отрезке [a; b], дифференцируема на этом отрезке и ее производная f(x) не обращается на нем в нуль. Возьмем произвольную точку х₀ проведем касательную к графику функции f(x) в этой точке и запишем уравнение касательной:

y=f(x₀)+f(x₀)(x-x₀) (7)

У

Х

а

b

x₂ x₁ x₀

Рис. 15.6 Построение последовательности {x_n} по методу касательных.

Найдем точку пересечения касательной с осью абсцисс – х₁. Для определения координаты этой точки можем использовать уравнение

f(x₀)+f(x₀)(x-x₀)=0

Таким образом,

x₁=x₀ (8).

Повторим проделанную процедуру: напишем уравнение касательной к графику функции в точке х₁ и найдем точку пересечения этой касательной с осью Ох (см. рис.1):

х₂=x₁

Продолжая этот процесс, получим последовательность х_n, определенную с помощью рекуррентной формулы:

x_n+1=x_n, n=0,1,2,… (9).

При исследовании этой последовательности снова возникают два вопроса:

1. Можно ли процесс вычисления чисел x_n продолжать неограниченно, иными словами, будут ли получившиеся значения принадлежать отрезку [a;b]?

2. Если процесс бесконечен, то как ведет себя последовательность х_n при n?

Оказывается, что если значение х близко к искомому корню, то справедлива теорема о сходимости последовательности (9).

Применим данный метод для решения уравнения (2).

Итак, f(x)=x-cosx, рекуррентная формула имеет вид:

x_n+1=x_n, n=0,1,2,… (10).

Выберем, как и ранее в качестве нулевого приближения х₀=0,5 и вычислим несколько следующих приближений по формуле (10) с помощью программы Excel.

21. Активизруйте ячейку В14 и занесите в неё число 0,5;

22. в ячейке D14 запишите формулу: =В14-((B14-COS(B14))/(1+SIN(B14))), после чего нажмите на клавишу Enter;

23. в ячейку В15 занесите: =D14, и нажмите на Enter;

24. Рис. 15.7

    автозаполнением заполните ячейки B16D24.

Результаты вычислений представлены на рис. 15.7

Из рисунка видно, что, начиная с номера n=1, последовательность х_n убывает и приближается к корню х=с сверху. После четвертого шага процесс останавливается. Остановка связана с тем, что расчеты ведутся с 12 знаками, и после достижения погрешности, не превышающей 10^-12, становится невозможно уловить разницу между x_n+1 и x_n, лежащую за пределами ошибки округления.

5. Уточнение корня методом хорд.

Пусть корень уравнения (3) отделен на отрезке [a, b], функция f(x) – непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения разных знаков. График функции y=f(x) проходит через точки A(a, f(a)) и B(b, f(b)). Запишем уравнение хорды АВ:

Если у=0, то х=с₁ – абсцисса точки пересечения хорды с осью Ох, может быть найдена по формуле:

c₁=a- (11).

Теперь возьмем на данной кривой точку А₁(c₁,f(c₁))

y B

a=c₀ c₁ c₂ b

0

A₂

A₁

A Рис. 15.8

Найдем абсциссу с₂ точки пересечения хорды А₁В с осью Ох

(12)

с₂=с₁

…………………………

c_n+1=c_n

При возрастании числа n значение c_n приближается к истинному значению корня. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не получим приближенного значения корня с заданной точностью.

Мы рассмотрели случай, когда «перемещается» левая граница отрезка [a, b]. Возможен и другой вариант, в этом случае формулы (11-12) имеют вид:

Возможны следующие четыре типа расположения дуги кривой АВ:

1. Функция убывает, график – вогнутая кривая

f(x)<0, f(x)>0

2. Функция убывает, график – выпуклая кривая

f(x)<0, f(x)0

3. Функция возрастает, график – вогнутая кривая

f(x)0, f(x)>0

4. Функция возрастает, график – выпуклая кривая

f(x)0, f(x)0

Из рисунков видно, что формулы (11-12) применяются в случаях (2) и (3), то есть тогда, когда f(x)f(x)0, а формулы (13) применяются в случаях (1) и (4), то есть тогда, когда f(x)f(x)0.

Методами математического анализа доказывается, что если f(x) и f(x) сохраняют знак на отрезке [a, b], то последовательность с₁,с₂,…c_n,… сходится и ее предел равен истинному значению корня.

Рассмотрим решение эти методом уравнения xcosx=0. Корень уравнения xcosx=0 будем искать на отрезке [0, 1]

f(x)=1+sin(x))0, f(x)=cos(x))0 на отрезке [0, 1], то есть имеет место (3) случай, поэтому применяем формулы (11-12), получаем:

С1	0,685073
С2	0,736299
С3	0,738945
С4	0,739078
С5	0,739085
С6	0,739085

Из таблицы видно, что, начиная с номера n=1, последовательность с_n возрастает и приближается к корню х=с снизу. После пятого шага процесс останавливается. Остановка обусловлена теми же причинами, что и в предыдущем методе.

Уточнение корня комбинированным методом хорд и касательных.

Рассмотренные методы решения уравнений удобнее применять в сочетании друг с другом. Например, хороший результат дает комбинация методов хорд и касательных. При этом в случаях (1) и (4) метод хорд дает приближенное значение корня с избытком, а метод касательных – с недостатком, а в случаях (2) и (3) наоборот.

Рассмотрим решение этим методом уравнения xcos(x)=0. Корень уравнения xcos(x)=0 будем искать на отрезке [0, 1]. Как сказано ранее, имеет место 3 случай, поэтому применяем формулы (11-12) и формулы (9). Получим

a	b
0,685073	0,750364
0,738948	0,739113
0,739085	0,739085

Рис. 15.9

Из таблицы видно, что результат достигается уже на третьем шаге.