Лабораторная работа №10. Приближенное вычисление определенных интегралов. Формула Симпсона.

Применение этой формулы требует почти такой же затраты труда, как и применение формулы трапеций, а приводит обычно к более точным результатам (при одном и том же разбиении интервала).

Разобьем интервал на n равных частей и предположим, что n четное число. Заменим дугу линии , отвечающую интервалу , дугой параболы, ось которой параллельна оси ординат и которая проходит через три точки: , и . Можно доказать, что это всегда можно сделать и притом единственным способом. Аналитически это означает, что в интервале данная функция заменяется квадратичной функцией . Произведя подобные замены и в интервалах , мы тем самым заменим площадь данной криволинейной трапеции суммой площадей получающихся параболических трапеций.

Найдем площадь первой из параболических трапеций

().

Имеем . После преобразования полученного выражения приходим к следующей формуле: . Аналогично выразятся площади , и последующих параболических трапеций: , и т.д. Складывая почленно все эти равенства, получим выражение, дающее приближенное значение искомого интеграла:

Это и есть формула Симпсона (см. рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация формулы Симпсона

Для остаточного члена формулы Симпсона справедливо неравенство

, (1)

где .

Как выбирать шаг h, чтобы подсчитать интеграл с заданной степенью точности  ? Если подсчет величины не сопряжен с громоздкими вычислениями, то в соответствии с формулой (1), h следует выбирать таким, чтобы выполнялось неравенство

. (2)

К сожалению, в большинстве случаев подсчитать очень трудно, и тогда вместо неравенства (2) обычно берут грубое неравенство . При этом у нас нет уверенности в выполнении неравенства (2), а потому для оценки погрешности пользуются специально разработанными методами. Одним из этих методов является метод, предложенный немецким физиком и математиком К. Рунге (1856–1927 гг.). Этот метод состоит в следующем.

1) Выбираем h с таким расчетом, чтобы выполнялось неравенство , и чтобы при этом интервал интегрирования оказался разбитым на число частей, кратное 4 (а не просто на четное число частей).

2) Вычисляем интеграл по формуле Симпсона с выбранным шагом h. Полученное приближенное значение интеграла обозначим .

3) Еще раз вычисляем наш интеграл по формуле Симпсона с удвоенным шагом 2h (получаем при этом приближенное значение ). Тогда абсолютная погрешность результата приближенно равна .

Замечание. Если окажется, что    (где  – заданная точность), придется провести расчет заново, взяв меньший шаг h (обычно в таком случае берут шаг ).

Пример. Вычислить интеграл по формуле Симпсона с точностью  = 0,005.

1. Осуществите запуск программы Excel, нажав на кнопку ПУСК на панели задач

2. Создание таблицы.

Для создания таблицы удобно использовать уже готовую таблицу, используемую в предыдущей работе.

а) Сделайте еще одну копию Листа1.

б) На новом листе вставьте новые столбцы там, где это необходимо.

Для этого выделите столбец G и выполните два раза команду ВСТАВКА-СТОЛБЦЫ.

в) Измените заголовок таблицы, так что бы он имел вид как на рисунке.

3. Возьмем в качестве шага . При этом .

В ячейки А2, A3, А4 запишите значения, соответствующие отрезку интегрирования [3;5] и величине шага 0,25: 3;5, 0,25.

В ячейке А5 рассчитайте число отрезков разбиения n по формуле , т.е. запишите формулу Excel: =(А3-А2)/А4. В результате отрезок интегрирования окажется разбитым на 8 частей.

4. В столбец В введем значения .

Для этого в ячейку В2 введем 0; в ячейку B3 введем 1; выделим ячейки B2 и B1 и протянем их до ячейки В10 с помощью маркера заполнения.

5. Вычисление значений аргумента.

В ячейку С2 запишите формулу Excel: =A2 и нажмите Enter. В ячейке С2 появится значение нижнего предела интегрирования. В дальнейшем, при изменении числового значения в ячейке А2, будет изменяться число и в ячейке С2.

В ячейку СЗ запишите значение следующей точки разбиения по формуле Excel: =С2+А4 и закрепите в ней адрес шага h - ячейку А4. Для этого дважды щелкните мышью в строке формул на адресе А4, чтобы выделить его, и нажмите клавишу F4. После этого адрес ячейки А4 станет абсолютным, на что указывает символ $ перед буквой столбца и номером строки адреса.

Формула примет вид =C2+$А$4

В дальнейшем, при переносе формулы адрес А4, в отличие от адреса C2, меняться не будет. Перенесите формулу ячейки С3 вниз до десятой строки с помощью маркера заполнения. После выполнения этого действия столбец С таблицы будет заполнен значениями точек разбиения отрезка [3;5].

6. Вычисление значений функции.

В ячейке D2 запишите формулу Excel: =КОРЕНЬ(6+C2^4), по которой рассчитывается значение функции в точке C2.

Для этого выделите ячейку D2 и, нажав ƒ_х на панели инструментов, выполните команду ВСТАВКА ФУНКЦИИ. Выберите категорию функций математические, далее функцию КОРЕНЬ, в строке «число» наберите 6+C2^4.

Перенесите эту формулу ячейки D2 вниз до десятой строки с помощью маркера заполнения. После выполнения этого шага в столбце D таблицы окажутся значения функции во всех точках разбиения.

7. Перенесем, полученные в столбце D значения, в ячейки столбцов E и F. Для этого необходимо скопировать значения в ячейках столбца D, сделать активной ячейку E1, выполнить команду меню Правка-Специальная вставка, в диалоговом окне выбрать пункт Значения.

Далее в столбце D оставим только значения в ячейках D2 и D10 ;

в столбце E – значения в ячейках E3, E5, E7, E9 ; в столбце F – значения в ячейках F4, F6, F8 .

8. В ячейках D12, E12, F12 подсчитаем сумму значений, расположенных в соответствующих столбцах. Для этого воспользуемся функцией СУММ (которая находится в мастере функций ƒ_х) или кнопкой автосуммы на панели инструментов.

9. Вычисление приближенного значения интеграла.

В ячейке G2 вычислите приближенное значение интеграла по формуле

, т.е. запишите формулу Excel: =A4/3*(D12+4*E12+2*E12) .

После выполнения этого шага в ячейке G2 появится результат приближенного вычисления интеграла c шагом h = 0,25.

10. Вычислим интеграл по формуле Симпсона еще раз, беря удвоенный шаг 2h =2∙0,25 = 0,5. При этом будем использовать данные столбцов D, E, F.

Поскольку мы увеличили шаг в 2 раза, то число отрезков разбиения уменьшилось в 2 раза и теперь .

В ячейке H2 запишите

формулу Excel: =A4*2/3*(D12+4*(F4+F8)+2*F6).

После выполнения этого шага в ячейке H2 появится результат приближенного вычисления интеграла c шагом h = 0,5.

11. Оценка погрешности вычисления.

По правилу Рунге, абсолютная погрешность результата приближенно равна .

Выделите ячейку I2 и запишите формулу Excel: =ABS(H2-G2)/15.

Для этого воспользуемся функцией ABS (которая находится в мастере функций ƒ_х).

Абсолютная погрешность результата приближенно равна . Замечание. Если бы  оказалось  0,005, пришлось бы заново провести расчет с шагом .

В результате выполненных шагов получится таблица:

Задание. Вычислить приближенно, пользуясь формулой Симпсона, определенный интеграл , разбивая отрезок интегрирования на 12 равных частей. Затем вычислить интеграл, разбив отрезок интегрирования на 6 частей.

Определить погрешность метода по формуле .