§ 30. Масштаб мелкомасштабной карты

Благодаря свойствам проекции, принятой для построения совет­ских топографических карт (§ 8), масштаб, указанный на них, на всей их площади^ сохраняет одну и ту же величину. На мелко­масштабных картах, изображающих большие территории на земной поверхности, такое ценное свойство сохранить не удается. Это про­исходит по той причине, что сферическая поверхность не может быть совмещенной с плоскостью без разрывов или перекрытий (сжатий); Это наглядно подтверждает рисунок из школьного географического атласа СССР (рис. 134). Чтобы достигнуть непре­рывности изображения земной поверхности, на карте приходится делать допустимые искажения. Последнее неизбежно в приэквато­риальных районах (рис. 135).

Но такое растяжение или сжатие приводит к изменению масшта­ба глобуса, с которого полоски взяты, причем на отдельных участках и направлениях изменения масштабов оказываются неодинаковыми. Сравним, к примеру, два изображения на рисунке 135. В правой части рисунка, т. е. на картографическом изображении, полученном

Рис. 134. Схема, подтверждающая, что сферическая поверхность Земли не может быть развернута без разрывов

Рис. 135. Результат растяжения в непрерывное картографическое изображение полосок, вырезанных с поверхности глобуса

140

ip-p rfpip tip

Из предыдущего вытекает также, что на одном и том же участ­ке карты масштаб по разным направлениям различен. Так, вблизи точки С масштаб по параллели крупнее масштаба по меридиану; по какому-нибудь иному направлению из этой точки, например от С к В, он отличается от первых двух масштабов, непрерывно изменяясь с изменением направлений.

Даже вдоль одного, случайно выбранного направления на взя­том отрезке масштаб не остается неизменным. Возьмем отрезок СВ. Части его находятся в разных зонах растяжения; соответственно и масштабы в этих частях разные. Вдоль более короткого отрезка (например, BE) различия масштабов меньше. Но совершенно эти различия могут исчезнуть только вдоль отрезка с минимально во­ображаемой длиной. Определяя масштаб, приходится учитывать все приведенные суждения.

Масштабом длин называют отношение длины бесконечно малого отрезка в данном месте карты по данному направлению к горизон­тальной проекции соответствующего отрезка на физической по­верхности Земли.

В приведенном примере было показано, что при создании кар­ты возможно сохранение величины исходного масштаба вдоль неко­торых направлений. Этот неизмененный масштаб глобуса, условно принятый за основу при построении карты, называют главным масштабом.

§ 31. Картографические искажения

Сферическая поверхность Земли при ее изображении на карте не может быть совмещена с плоскостью без разрывов или перекры­тий. Для создания непрерывного картографического изображения приходится прибегать к растяжениям или сжатиям его частей. Это в свою очередь приводит к нарушениям геометрических свойств изображенной поверхности, т. е. к ее искажению.

Картографическим искажением называют нару­шение геометрических свойств участков земной поверхности и рас­положенных на них объектов при их изображении на плоскости. Искаженными могут быть длины линий, горизонтальные углы между определенными направлениями, формы и размеры площади, зани­маемой участком или объектом. Поэтому можно говорить о четырех видах картографических искажений: длин линий, углов, форм и пло­щадей.

Искажение длин линий (расстояний) связано с изменением масштаба длин на одной и той же карте и выражается, в частнос­ти, в том, что расстояния, одинаковые на уровенной поверхности Земли, изображены на этой карте отрезками разной длины. Масштаб, величина которого отлична от главного масштаба карты, называют частным масштабом.

Судить о наличии на карте искажения длин удобно путем сравнения величины отрезков меридианов между соседними парал-

лелями. Если они повсеместно равны, то искажения длин по мериди­анам нет, если такого равенства нет (на рисунке 136 отрезки АВ и CD), то искажение длин линий имеется. Если карта отображает такую большую территорию, что на ней показаны и экватор и парал­лель 60° широты, то нетрудно по ней установить, имеется ли искаже­ние длин вдоль параллелей. Для этого достаточно сравнить длину отрезков жннтора и параллели с широтой 60° между соседними меридианами. Известно, что параллель 60° широты в два раза короче экватора. Если таково же соотношение указанных отрезков на кар­те, то искажения длин по параллелям нет; в противном случае оно имеется.

Искажение углов состоит в том, что углы на карте между взяты­ми направлениями не равны горизонтальным углам между теми же

Рис. \'М\. Часть карты восточного полушария с показом картографических искаже­ний

142

143

направлениями на поверхности земного эллипсоида. Очень просто установить по карте, искажены ли у нее углы пересечения меридиа­нов и параллелей по отклонению их от прямого угла.

Искажение форм состоит в том, что форма участка или заня­той объектом территории на карте отлична от их формы на уровен-ной поверхности Земли. Наличие искажения этого вида на карте мож­но установить путем сопоставления формы клеток картографиче­ской сетки, расположенных на одной широте: если они одинаковы, то искажения нет. На рисунке 136 две заштрихованные клетки различием формы свидетельствуют о наличии искажения данного вида. Можно также выявить искаженность формы определенного объекта (материка, острова, моря) по соотношению его ширины и длины на анализируемой карте и на глобусе. Например, на карте полушария (рис. 136) ширина полуострова Камчатка укладыва­ется вдоль ее длины (от мыса Лопатка на юге до параллели 60° с. ш.) более трех раз, тогда как на глобусе это отношение равно 1:2.

Четвертый вид картографического искажения — искажение пло­щадей связан с масштабом площади: при постоянстве величины масштаба площади по всей поверхности карты искажения пло­щадей на ней нет. Простой способ выявления искаженности этого вида состоит в сравнении площадей клеток картографической сет­ки, ограниченных одноименными параллелями: при равенстве пло­щадей клеток искажения нет. Это имеет место, в частности, на карте полушария (рис. 136), на которой заштрихованные клетки разли­чаются по форме, но имеют одинаковую площадь.

Анализируя искаженность карты, можно не только установить наличие или отсутствие картографического искажения того или иного вида, но и измерить величины этих искажений. Такую зада­чу решают, вычислив показатели искажений.

Искажение длин, к примеру, тем более, чем сильнее частный масштаб в данном месте карты по данному направлению отличается от главного масштаба. Поэтому за показатель искажения длин принимают отношение этих масштабов. Сам показатель обозначают

греческой буквой ц: устный масштаб

главный масштаб

Из формулы видно, что показатель искажения длин выражает­ся отвлеченным числом, целым или дробным. Он может быть больше или меньше единицы; при равенстве частного и главного масштабов показатель равен 1.

Для вычисления показателя ц требуется узнать величину част­ного масштаба в данном месте карты; главный масштаб обычно на ней подписан. Вычисление проще проводить вдоль линий карто­графической сетки, при этом масштаб узнают из сравнения из­меренной на карте длины отрезка меридиана или параллели с их длиной на поверхности земного эллипсоида (взятой из таблиц).

К примеру, длина отрезка среднего меридиана физической карты восточного полушария в атласе для 5-го класса (1986 г.) на участке

между параллелями 60° и 70° с. ш. равна 10,4 мм. Истинная длина этого отрезка меридиана равна (с округлением) 1115 км (111,5 кмХ ХЮ). Соответственно, частный масштаб равен 10,4 м: 1115 км = = 1:107 200 000. Главный масштаб карты 1:90 000 000, следователь­но, ii= 1:107 200 000:1:90 000 000 = 0,84.

Значение вычисленного показателя искажения длин меньше 1 свидетельствует о сжатии данного участка меридиана сравнительно с неискаженными его частями. На «растянутых» участках карты по­казатель был бы больше 1.

Показатель искажения длин ц имеет особые обозначения, если он направлен по меридиану (т), по параллели (л). Самый большой показатель искажения длин у данной точки обозначают латинской буквой а, а наименьший — буквой Ъ. Сами же взаимно перпенди­кулярные направления, по которым действуют наибольший и наи­меньший показатели искажения длин, называют главными направлениями.

За показатель искажения углов между линиями картографичес­кой сетки принимают величину отклонения их от 90° и обозначают его греческой буквой е (эпсилон).

е = в — 90°, где в (тэта) — измеренный на карте угол между ме­ридианом и параллелью.

На рисунке 136 обозначено, что угол в равен 115°, следователь­но, е = 25°.

В точке, где угол пересечения меридиана и параллели оста­ется на карте прямым, углы между другими направлениями могут быть измененными на карте, поскольку в каждой данной точке величина искажения углов может изменяться с переменой направ­ления.

За общий показатель искажения углов со (омега) принима­ют наибольшее искажение угла в данной точке, равное разности его величины на карте и на поверхности земного эллипсоида (или шара). При известных показателях а и b величину со узнают по формуле:

как произве-

—^Ф>к

\о^

Показатель ф~, дение наибол^-")		с \ А Л-
в данном м: Главнь-	~\Л~
ниями кар " .„--^^У--' да показг ' ^'1оп
мулам:	^^

н

ВхОДЯЩ'ображение градусной сетки полу- Рис. 138. Пример построения карто- чае ПО носкость проектирующими лучами графической сетки в перспективной К проекции

144

147

Рис, 137, Отображение градусной сетки полу- Рис. 138. Пример построения карто- Шарии иа плоскость проектирующими лучами графической сетки в перспективной ни центра К проекции

г»,

/

тпшФпишишмтщшшгпм

Показатель искажения форм (k) зависит от различия наибольше­го (а) и наименьшего (Ь) показателей искажения длин в данном месте карты и выражается формулой:

к=_т.

Виды искажений и их величину в конкретном месте карты можно

наглядно отобразить с помощью эллипсов искажений..З-ЛЛ.ЯАА^

ми искажений называют изображенные на карте геометриче­ские фигуры (эллипсы или круги), формы и размеры которых соот­ветствуют видам и величине искажений, имеющихся в центральной точке фигуры.

Из теории картографических проекций (§ 32) известно, что на карте полушарий (рис. 136) расположенная в центре точка пе­ресечения среднего меридиана 70° в. д. с экватором не имеет ис­кажения. Поэтому эллипс искажений в этом месте карты имеет форму круга с условно принятым радиусом (например, 5 мм). Выше был вычислен показатель искажения длин на среднем меридиане карты на участке между параллелями 60° и 70° с. ш. Он оказался рав­ным 0,84. При построении эллипса искажений в этом месте карты его радиус по меридиану приходится уменьшать и брать рав­ным 5 мм X0,84 = 4,2 мм. Радиус эллипса искажений, перпенди­кулярный меридиану, т. е. направленный вдоль параллели, имеет размер 5,7 мм, потому что вычисленный показатель искажения длин п равен 1,14 (при частном масштабе длины, равной 6,6 мм:472 км = = 1:78 700 000).

Сравнивая эллипс, построенный в этом месте карты, с неиска­ женным эллипсом, можно установить следующее: а) масштабы длин по разным направлениям различны, причем вдоль меридиана пока­ затель искажения длин наименьший, т. е. m = b, тогда как по парал­ лели он наибольший п = а; б) форма эллипса искажения не круг, что свидетельствует об искажении форм; в) площадь эллипса искаже­ ний равна площади эллипся в неискаженной центральной точке карты, т. е. искажение е подтверждает

произведение а-Ь —

одного участка или линий, по

И- =

главный масштаб

видно, что показатель искажения д._{ха не ИЗМ}еняет ся отвлеченным числом, целым или дробным. Он може\ разрыве или или меньше единицы; при равенстве частного и главного «пределения показатель равен 1. _{ таблицы

Для вычисления показателя ц требуется узнать велич ного масштаба в данном месте карты; главный масштаб с_{х зависит} ней подписан. Вычисление проще проводить вдоль лин_{(оения ма}_ графической сетки, при этом масштаб узнают из ^сР^ав1а_Рр_ИТОр_ИИ меренной на карте длины отрезка меридиана или п^_а!р_ер_И^_0В с их длиной на поверхности земного эллипсоида (ва, _матери.

таблиц). _А полуша-

К примеру, длина отрезка среднего меридиана физическо1 _приня. восточного полушария в атласе для 5-го класса (1986 г.) на у

144

Изменение ™^г ■■ частный масштаб

карты к I" все"

Здесь отметим, что у многих карт размеры искажений увеличи-

\ ваются в их краевых и уменьшаются (или отсутствуют) в средних

частях. Точки или линии на карте, в которых искажений нет, на-

^^ывают точками или л и н и я м и нулевых искажений.

Г } 32. КАРТОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

£ . ^

Как уже говорилось в § 2, картографическими проекциями '. называют математические способы изображения на плоскости по­верхности земного эллипсоида или шара. Изображение градусной; сетки Земли на карте называют картографической сеткой, а точ-ки^ пересечения меридианов и параллелей — узловыми точками.

Г Построение карт включает сначала изображение на плоскости (бумаге) картографической сетки, а затем заполнение клеток сетки контурами и другими обозначениями географических объ­ектов.

Построение сетки может быть осуществлено различными спосо­бами.

147

Так, при применении перспективных проекций картографическая сетка получается как бы проектированием узловых точек с поверх­ности шара на плоскость (рис. 137) или на другую геометричес­кую поверхность (конус, цилиндр), которая затем развертывается в плоскость без искажений. Пример практического построения пер­спективным способом картографической сетки северного полушария приведен на рисунке 138. Картинная плоскость Р касается здесь поверхности северного полушария в точке Северного полюса. Пря­молинейными проектирующими лучами из центра К узловые точки

(20з.д.)(Ю )

пересечения меридиана с экватором и параллелями 30° и 60° ширен м переносятся на картинную плоскость. Тем самым определи юте н радиусы этих параллелей на плоскости. Меридианы изображают ся на плоскости прямыми линиями, исходящими из точки полюеп и отстоящими друг от друга под равными углами. На рисунке изобрл жена половина сетки. Вторую половину легко мысленно представит ., а при необходимости и построить.

Построение карты методами перспективных проекций не требует использования высшей математики, поэтому их начали применять еще задолго до ее разработки, с глубокой древности. Ныне в кар­тографическом производстве карты строят неперспективными метода­ми — путем расчета положения узловых точек картографической сет­ки на плоскости. Расчет выполняют, решая систему уравнений, связывающих широту и долготу узловых точек с их прямоугольны­ми координатами X и Y на плоскости. Применяемые при этом урав­нения довольно сложны. Примером сравнительно простых формул могут быть следующие:

x=RXsin ер, y = RXcos ф-sin А..

В этих уравнениях R — радиус (средний) Земли, округленно принимаемый за 6370 км, а ф, Я — географические координаты узловых точек.

Координаты х и у определяют положение узловых точек на плос­кости по отношению к координатным осям, из которых за ось абсцисс берут средний меридиан карты, а за ось ординат — экватор. Если при этом среднему меридиану придать значение долготы 0°, то, к при­меру, узловая точка «А» с географическими координатами ф = 60° с. ш.; А = 30° в. д. будет иметь следующие прямоугольные коорди­наты:

х=6370 км-0,866 = 5516,4 км; у=6370 км-0,5-0,5 =1592,5 км.

При построении картографической сетки в масштабе 1:200 000 000 (рис. 139) эти координаты будут иметь следующие раз­меры: а:=27,6 мм; г/=8,0 мм.

Так же вычисляют координаты узловых точек £/ф=60° с. ш.; А = 60° в. д.; *=27,6 мм; «/=13,8 мм/, точки С/ф = 60° с. ш.; X— = 90° в. д.; лс=27,6 мм; у=15,9 мм/ и всех остальных.

Узловые точки, расположенные слева от оси X и в южном полу­шарии, размещают как зеркальные отражения вычисленных точек. Например, по вычислительному положению точки А размещают симметрично точки А\, А?, и А₃.

Завершают построение картографической сетки, соединяя узло­вые точки прямыми линиями (на рис. 139 параллели) или по ле­калу, если линии криволинейны.

В нашем примере указаны долготы точек от среднего меридиа­на карты, долгота которого была принята за 0°. Но этому мери-

148

Рис. 139. Картографическая сетка карты полушария, построенная аналитическим путем по формулам, связы­вающим географические координаты <р и X с прямоуголь­ными координатами X и Y

диану после построения сетки может быть придано любое другое значение. К примеру, при необходимости изображения на построен­ной сетке карт восточного полушария среднему меридиану можно придать значение 70° в.д.; соответственно изменится долгота остальных меридианов (на рис. 139 она указана в скобках).