1.2. Структурный (топологический) анализ систем

Основными формами описания структурных свойств системы являются структурные блок-схемы, графы и матрицы.

Граф – это пара чисел G (q, p) или G (p, q), где p - множество вершин и q – множество ребер (дуг, ветвей). Две вершины i, j, соединенные ребром графа, называются смежными. При этом ребро (i, j) инцидентно, если имеет прямое отношение, к вершинам i и j, а вершины i и j, в свою очередь, инцидентны ребру (i, j).

Если все ребра графа задают направление (ориентацию от i к j или от j к i,) то граф называется направленным или ориентированным. В противном случае имеет место неориентированный граф G (p, q).

Геометрически графы изображаются в виде диаграмм, на которых вершины отображаются точками или окружностями, а ребра – отрезками, соединяющими вершины. Ориентированное ребро (i, j) задается отрезком со стрелкой, направленной из i-й вершины в j-ю.

При представлении структуры системы в виде графа в одном случае элементы системы соответствуют вершинам, а связи - ребрам графа (вершинный граф); в другом случае ребра графа соответствуют элементам системы, а вершины – коммуникационным связям (отношениям) – реберный граф. Графы, обладающие одинаковой структурой, называются эквивалентными. Граф называется связным, если для любой пары вершин существует соединяющий их путь. Несвязный граф состоит из нескольких отдельных связных графов (его компонентов или подграфов).

Большая технологическая (производственная) система может быть представлена в виде направленного графа, вершины которого отражают технологические операции и процессы, а ветви (ребра) – направленные материальные потоки сырья, промежуточных и конечных продуктов. Каждая вершина может иметь один вход и несколько выходов (разветвление потоков) и наоборот (свертка); быть изолированной, входной или выходной вершинами, через которые следует процесс взаимодействия с внешней средой.

Теория графов позволяет разработать общие формальные приемы исследований конкретных физических систем, независимо от их сложности и природы.

Информацию, содержащуюся в графе, можно представить в алгебраической форме матрицей отношений элементы которой отражают характеристику связей между i-м и j -м элементами системы.

Такая связь матрицы и графа позволяет перевести структурные особенности системы на язык чисел и алгебраических преобразований.

1 при наличии ребра связи (i, j)

0 при отсутствии ребра связи (i, j) ,

Если S_ij =

то матрица описывает факт существования отношений между элементами в виде распределения нулей и единиц, упорядоченных по строкам и столбцам, и называется матрицей смежности. Для типовых структур матрица смежности имеет вид:

1. Несвязная система

_{1 2 3 4}

При отсутствии собственных циклов матрица становится

полностью нулевой.

2. Центральная структура

_3,2

Для неориентированных графов матрица смежности становится симметричной.

3. Древовидная иерархическая структура

4. Сетевая структура

Данная структура описывается единичной матрицей смежности или при отсутствии собственных циклов с нулевой главной диагональю.

В случае малой связности графа и большого количества путей матрицу целесообразно описать списком R_i,indk ; k = 1,k_i, каждый элемент которого содержит индекс j-ой вершины графа, в которую можно непосредственно попасть из вершины i. Т.е. матрица R_i,indk , содержит индексы j-х вершин, для которых имеется ребро (i, j).