Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
редактор.уст.11.06.11.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
16.09.2019
Размер:
679.94 Кб
Скачать

Составители: Красинский А.Я., д.ф.-м.н., проф.,

Красинская Э.М., к.ф.-м.н., доц.

Методические указания составлены в соответствии с рабочей программой по курсу «Компьютерное управление мехатронными системами». Цель методических указаний – ознакомление студентов с основными понятиями теории устойчивости, необходимыми при подготовке курсовой работы по задачам управления мехатронными системами для сокращения числа исполнительных приводов и уменьшения объема измерительной информации, а также приобретение навыков самостоятельного применения общей теории устойчивости к исследованию динамики конкретных систем.

Предназначены для студентов специальности 220401 – Мехатроника и направления подготовки бакалавров 221000 – Мехатроника и робототехника.

Утверждены УМС МГУПБ.

© МГУПБ, 2011

Введение

В настоящее время понятие устойчивости используется во многих областях человеческой деятельности. Как в теоретических исследованиях, так и в практических построениях динамических систем необходимо выделять устойчивые процессы и движения, поскольку только такие движения или режимы работы могут быть реализованы в действительности.

В механике проблемы устойчивости возникли впервые при изучении равновесий. Практический опыт человечества показывает, что некоторые положения равновесия устойчивы к небольшим возмущениям, а другие возможные равновесные положения в реальных условиях не могут быть осуществлены. Например, для физического маятника нижнее положение равновесия устойчиво, а верхнее - неустойчиво, так как малейший толчок вызовет падение маятника из верхнего положения равновесия.

Не каждое состояние механической системы, отвечающее математически строгому решению как уравнений равновесия, так и дифференциальных уравнений движения, наблюдается в действительности. Это объясняется неучитываемыми малыми силами и незначительными отклонениями в начальном состоянии материальной системы, которые на практике неизбежно существуют и вызывают возмущения равновесия и движения. Равновесия и движения, слабо изменяющиеся при возмущениях, были названы устойчивыми, а прочие - неустойчивыми.

При решении вопроса о движениях или решениях, которые можно осyществить, необходимо из всех возможных решений уравнений, описывающих движение данной системы, выделить решения, отвечающие устойчивым состояниям. В тех же случаях, когда желательно избежать в действительности какого-либо решения, можно путем выбора параметров системы сделать отвечающее этому решению состояние системы неустойчивым.

Вопрос об устойчивом осуществлении определённогo состояния возникает и в теории регулирования, и в теории оптимального управления. Так, оптимальное решение некоторой системы управления может не осуществиться в действительности, если это решение будет неустойчивым. Тогда возникает проблема нахождения управлений, дающих одновременно решение задачи оптимизации и устойчивости, т. е. проблема оптимальной стабилизации выбранного состояния управляемой системы.

Понятие устойчивости кажется ясным и очевидным для неспециалиста и широко используется в повседневной жизни. Но это житейское понятие очень широкое и включает в себя много различных представлений, не равнозначных друг другу. Наиболее просто оказалось перевести на язык математики понятие устойчивости равновесия. Это определение устойчивости в механике, сформулированное в точных математических терминах, оказалось полезным во многих случаях.

Наблюдения над конкретными механическими системами давно привели ученых к мысли, что устойчивые положения равновесия системы материальных точек - это такие равновесия, в которых центр тяжести занимает наинизшее положение. В 1644 г. критерий устойчивости равновесия для механических систем тяжелых точек под действием однородного поля силы тяжести был сформулирован Е.Торичелли. Корни этого принципа теряются в глубокой древности. Но в общем случае далеко не всегда ясно, при каких условиях равновесное положение будет устойчиво. В 1768 г. Лагранж сформулировал теорему, согласно которой равновесие консервативной системы устойчиво в точках, где потенциальная энергия имеет строгий минимум.

В середине XIX века возникли проблемы, потребовавшие постановки общей задачи об устойчивости движения. Оказалось, что движение, устойчивое в одном смысле, может быть неустойчивым в некотором другом смысле. Так, например, любое решение, соответствующее одной из замкнутых орбит материальной точки в ньютоновском центральном поле притяжения, является неустойчивым по отношению к декартовым координатам. В самом деле, период решения зависит от выбора орбиты, и две точки плоскости, которые в начале движения находятся очень близко одна от другой и принадлежат разным орбитам, окажутся в диаметрально противоположных положениях через некоторый промежуток времени. Это произойдет, как бы мало ни было различие между периодами. Но тем не менее орбиты близки одна к другой, т.е. по определению Н.Е. Жуковского орбиты устойчивы. Здесь будет иметь место устойчивость траекторий или орбитальная устойчивость по отношению к полярным координатам.

При обобщении понятия устойчивости равновесия на понятие устойчивости движения возможны разные подходы и разные определения. Само по себе понятие устойчивости движения было предметом многочисленных исследований математиков и источником бурных дискуссий философов.

Задачей устойчивости занимались многие выдающиеся математики и механики - Лагранж, У. Кельвин, Э. Дж. Раус, Н.Е. Жуковский, А. Пуанкаре и др. Но в динамике до А.М. Ляпунова не было дано такого строгого критерия для отбора устойчивых решений, как принцип Торичелли и теорема Лагранжа. Раус нашел критерий устойчивости, аналогичный теореме Лагранжа, только для циклических движений.

В своем сочинении "Общая задача об устойчивости движения", опубликованном в 1892 г., А.М. Ляпунов дал строгую математическую постановку задачи об устойчивости движения в о6щем случае, ставшую теперь классической. Определение устойчивости по Ляпунову и разработанные им в этой работе точные методы исследования устойчивости теперь применяются и развиваются во всем мире.

В предисловии к этой работе А.М. Ляпунов писал: «В этом сочинении я имел в виду лишь то, что пока удалось сделать для решения поставленной мной задачи и что, может быть, может послужить точкой отправления для дальнейших изысканий такого же характера». Эти слова оправдались в полной мере. В печати во всем мире появились сотни работ, непосредственно связанных с исследованиями А.М. Ляпунова и развивающих теорию устойчивости и ее пpиложения в различных направлениях.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.