Постановка а.М.Ляпуновым задачи об устойчивости

Рассмотрим какую-либо материальную систему с k степенями cвободы и пусть - ее обобщенные координаты. Во всякой динамической задаче, в которой силы определенным образом заданы, эти функции бyдyт удовлетворять некоторым дифференциальным уравнениям второго порядка.

Пусть для этих уравнений найдено частное решение

Этому решению соответствует определенное движение системы. Будем называть его невозмущенным, а все остальные, с которыми оно сравнивается, возмущенными.

Пусть , где - некоторый данный момент времени, - возмущения, которыми определяется возмущенное движение.

Пусть - данные непрерывные однозначные функции величин . Для невозмущенного движения они являются известными функциями времени, . Для возмущенного движения будут функциями времени и возмущений.

Рассмотрим разности . А.М. Ляпунов ставит вопрос: можно ли определить при достаточно малых величинах , такие достаточно малые пределы , которых последние никогда не перешли бы по своим численным значениям? Далее он отмечает, что «. . .решение этого вопроса, который составит предмет наших изысканий, зависит как от характера рассматриваемого невозмущенного движения, так и от выбора функций и момента времени . При определенном выборе последних, ответ на этот вопрос будет, следовательно, характеризовать в известном отношении невозмущенное движение, определяя собою то свойство последнего, которое будем называть устойчивостью, или противоположное ему, которое будем называть неустойчивостью".

Определение устойчивости движения А.М.Ляпунова

Пусть - суть произвольно задаваемые положительные числа. Если при всяких как бы малы они ни были, могут быть выбираемы положительные числа так, что при всяких вещественных , удовлетворяющих условиям , и при всяком , превосходящем , выполнялись неравенства , то невозмущенное движение по отношению к величинам устойчиво; в противном случае - неустойчиво по отношению к тем же величинам.

В теоретической механике чаще всего рассматривается случай, когда все функции представляют собой обобщенные координаты и скорости. При этом обычно исследуется устойчивость по отношению ко всем координатам и скоростям. Но иногда рассматривается задача об устойчивости по отношению к части этих переменных.

Задача исследования устойчивости движения тесно связана с устойчивостью решений дифференциальных уравнений. А.М. Ляпунов отмечает: "Обыкновенные вопросы такого рода приводят к исследованию дифференциальных уравнений вида

,

вторые части которых, зависящие от времени t и неизвестных его функций при величинах , численно достаточно малых, разлагаются в ряды по целым положительным степеням последних и уничтожаются, когда все эти величины делаются нулями.

Задача состоит в том, чтобы узнать, можно ли начальные значения функций , не делая их нулями, выбирать настолько численно малыми, чтобы во все время, следующее за начальным моментом, функции эти оставались численно меньшими некоторых заранее заданных, отличных от нуля, но сколь угодно малых пределов".

Когда можно найти общее решение дифференциальных уравнений, задача исследования устойчивости, конечно, не представляет затруднений. Но чаще всего проинтегрировать уравнения нам не удается. Поэтому важно иметь способы, которые позволяли бы решать задачу об устойчивости независимо от выполнения интегрирования уравнений движения.