- •Введение
- •1. Устойчивость по ляпунову
- •Основные определения
- •Постановка а.М.Ляпуновым задачи об устойчивости
- •2. Различные определения устойчивости решений
- •Дифференциальных уравнений.
- •4. Уравнения возмущенного движения [3, 5, 6]
- •5. Метод функций ляпунова [5, 6]
- •6. Метод функций ляпунова для автономных систем
- •Геометрическая интерпретация знакоопределенных функций
- •Теоремы о неустойчивости движения
- •Замечание о знакоопреденности функций.
- •Контрольные задания
- •Библиографический список
Контрольные задания
Найти стационарные движения и составить уравнения возмущенного движения для исследования их устойчивости.
Задача 1. Конический маятник (в переменных Лагранжа) [6]:
Постановка задачи: Рассмотрим материальную точку М массы m , подвешенную на невесомой нити OM в точке О (сферический маятник). Пусть длина нити равна l. Положение точки М будем определять углами , смысл которых очевиден из рисунка.
Ось вертикальна, ось параллельна неподвижной горизонтальной оси Ох , прямая перпендикулярна оси . Для каждого угла существует такая постоянная скорость , что маятник совершает стационарное движение по горизонтальной окружности
Требуется:
1. Составить уравнения движения в форме уравнений Лагранжа 2-го рода
.
2.Найти условие, при котором возможны стационарные движения по окружности (или относительные равновесия).
3.Вводя возмущения
,
из уравнений Лагранжа для заданного получить уравнения возмущенного движения;
4. Выделить в уравнениях возмущенного движения линейные по члены.
Задача 2. Конический маятник (в переменных Рауса).
Постановка задачи: В коническом маятнике – циклическая координата , так как от нее не зависят ни кинетическая, ни потенциальная энергия, и непотенциальные обобщенные силы отсутствуют. Один из удобных способов описания динамики таких систем – применение переменных Рауса.
Требуется:
Ввести функцию Рауса , где – функция Лагранжа , в которой циклическая скорость заменена ее выражением из уравнения (это же выражение подставляется и в произведение ).
Составить уравнения Рауса
Найти условия существования стационарного движения
в переменных Рауса.
Вводя возмущения
получить из уравнений Рауса уравнения возмущенного движения для заданного угла . Выделить в этих уравнениях линейные члены.
Указание: значение угла для конкретного варианта индивидуального задания определяется выражением , где N – порядковый номер студента в списке группы.
Библиографический список
Ляпунов А.М. Собрание сочинений. В 2 т. Т. 2 / А.М. Ляпунов. – М.-Л. : Изд-во АН СССР, 1956.
Кильчевский Н.А. Курс теоретической механики. В 2 т. Т. 2. / Н.А. Кильчевский. – М.: Наука, 1977.
Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. – М .: Наука, 1967.
Румянцев В.В. Устойчивость и стабилизация по отношению к части переменных. / В.В. Румянцев, А.С. Озиранер. – М. : Наука. 1987.
Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. / И.Г. Малкин. – М. : Наука. 1966.
Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. / Д.Р. Меркин. – М. : Наука. 1976.
Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. / Е.А. Барбашин. – М. : Наука. 1970.
Учебное издание
Красинский Александр Яковлевич
Красинская Эсфира Мустафовна
КОМПЬЮТЕРНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
МЕХАТРОННЫМИ СИСТЕМАМИ
Основные понятия теории устойчивости.
Приложение теории устойчивости к задачам управления.
Методические указания к выполнению курсовой работы
для студентов специальности 220401 – Мехатроника и направления подготовки бакалавров 221000 – Мехатроника и робототехника
Редактор И.А. Мырсина
Подписано в печать 25.04.11. Усл. печ. л. 1,5. Тираж 30 экз.
Заказ . Изд. № 41.
МГУПБ. 109316. Москва, ул. Талалихина, 33.
ООО «Франтера». 109316. Москва, ул. Талалихина, 33.