Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
редактор.уст.11.06.11.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
16.09.2019
Размер:
679.94 Кб
Скачать

6. Метод функций ляпунова для автономных систем

Рассмотрим некоторые вещественные однозначные, непрерывные вместе с производными в области

(13)

функции , причем .

Определение 9. Функция называется знакопостоянной (положительной или отрицательной) в области (13), если во всех точках области она принимает значения только одного знака (нулевое значение она может принимать не только в начале координат).

Определение 10. Функция называется знакоопределенной (определенно-положительной) в области (13) , если во всех точках области, кроме начала координат, она принимает значения строго только одного знака (больше нуля).

Примеры: функция знакопостоянная положительная, так как она обращается в нуль не только в начале координат, но и на прямой .

Функция в пространстве трех переменных является знакоположительной: она равна нулю не только в начале координат, но и на прямой . В пространстве же двух переменных эта функция является определенно-положительной.

Геометрическая интерпретация знакоопределенных функций

Поверхности уровня знакоопределенной функции по крайней мере для достаточно малых С замкнуты. Действительно, рассмотрим такую поверхность. Для определенности предположим, что положительно-определенная функция (С - положительное число). При С=0 будем иметь , откуда , т.е. поверхность вырождается в точку. Пусть l – точный нижний предел функции на границе области (13). Очевидно l >0. Если рассмотрим произвольную непрерывную кривую, выходящую из начала координат к границе области (13) и проследим за изменением функции вдоль этой кривой, то получим, что в начале кривой , а в конце . Следовательно , в некоторой точке этой кривой необходимо принимает значение С , если только С<l , так как предполагается, что функция Ляпунова непрерывна и определена во всех точках области (13). Значит, поверхности для С<l будут замкнуты и окружают начало координат.

Если взять поверхности , , ... , , причем , то поверхности расположатся следующим образом.

Line 18

Полотно 3

Производной по времени от функции Ляпунова в силу уравнений возмущенного движения (12) называется выражение

(14)

Такая производная характеризует изменение функции V вдоль траектории уравнений возмущенного движения.

В основе исследования устойчивости методом функций Ляпунова лежат следующие теоремы [5, 6, 7].

  1. Теорема Ляпунова об устойчивости: если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти знакоопределенную функцию , производная которой в силу этих уравнений была бы знакопостоянной функцией противоположного с знака, то невозмущенное движение устойчиво.

Замечание. Если в качестве функции Ляпунова взять полную энергию системы, то из этой теоремы легко установить справедливость теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия: положение равновесия консервативной механической системы устойчиво, если для него потенциальная энергия имеет строгий локальный минимум.

  1. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости: если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти знакоопределенную функцию , производная которой в силу этих уравнений была бы знакоопределенной функцией противоположного с знака, то невозмущенное движение устойчиво асимптотически.

  2. ТLine 16 еорема Барбашина - Красовского об асимптотической устойчивости: если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти определенно-положительную функцию такую, что ее производная в силу этих уравнений удовлетворяет в области (13) условию: знакоотрицательна, причем многообразие К точек, для которых , не содержит целых траекторий системы, кроме начала координат при , то невозмущенное движение асимптотически устойчиво.

Freeform 18

К

Line 17

Oval 21 Oval 20

Oval 25 Oval 24 Oval 23 Oval 22

Line 26

Замечание об устойчивости регулируемых систем. Во многих технических задачах важно, чтобы невозмущенное движение было асимптотически устойчивым и чтобы эта устойчивость имела место при любых начальных возмущениях (асимптотически устойчиво в целом). При этом дело сведется к построению функции Ляпунова, удовлетворяющей условиям следующих теорем Барбашина - Красовского об устойчивости в целом.

Теорема 1. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения возможно найти определенно-положительную функцию Ляпунова, полная производная по времени которой, составленная в силу этих уравнений, есть при всех функция определенно-отрицательная и если при этом , то невозмущенное движение асимптотически устойчиво в целом.

Теорема 2. Если для дифференциальных уравнений возмущенного движения можно найти такую определенно-положительную функцию, что она удовлетворяет условию и производная которой в силу этих уравнений, знакоотрицательна, причем многообразие точек, для которых , не содержит целых траекторий системы, кроме начала координат при , то невозмущенное движение асимптотически устойчиво в целом.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.