1.3. Структурные характеристики системы

Основными характеристиками структуры системы являются показатели связности, центральности и сложности.

1.3.1. Связность системы

Связность системы характеризуется числом вершин или ребер графа, удаление которых ведет к несвязному графу, содержащему изолированные вершины или подграфы. Оценка связности достигается [20] анализом так называемой n-связности графа, где n – максимальное число ветвей, удаление которых еще не ведет к распаду системы. Для этого рассчитывается упорядоченная последовательность

,

где - структурный ранг i-й вершины графа (элемента системы), определяющий ее значимость по общему числу связей

То есть n должно быть на единицу меньше минимального ранга вершины.

Однако упорядочивание рангов и n-связность не вскрывают наличие разделяющих связей, разрыв которых ведет однозначно к образованию несвязной системы. Такие связи может иметь любая вершина любого ранга и признаком ее является наличие лишь одной связи s_ij =1 или s_ji =1 между связными подграфами. Выявление разделяющих связей достигается декомпозицией системы на сильно связанные подсистемы по критерию максимальной связности внутри групп и минимума связей между группами.

,

если i-й (j-й) элемент входит в k-ю группу

в противном случае

где

Если число подсистем m неизвестно, то можно провести декомпозицию системы по алгоритму диагонализации на две части. Тогда связи между подсистемами и будут разделяющими. Однако алгоритмы диагонализации матрицы оказываются достаточно сложными и не приводят к однозначным результатам.

Простой способ решения задачи выявления разделяющих связей вытекает из анализа матриц путей P_ij и дистанционной матрицы неориентированного графа системы (рис.1.4). Если между i–м и j-м

Рис. 1.4. Блок-схема алгоритма нахождения разделяющих связей

элементами имеется только один одноступенчатый путь s_ij, то есть p_i,j =1 и d_i,j=1, то данная связь может быть разделяющей. Если, разорвав связь (i;j), мы не находим другого пути из j в i на неориентированном графе (при симметричной матрице s_ij ), т.е. получаем p_ij = 0 и d _ij =0 _, то распад системы на связные подграфы (подсистемы) подтверждается. В случае ориентированного графа проверка связности должна производиться в двух направления от i  j и j  i.

1.3.2. Степень центральности системы

Для оценки степени неравномерности загрузки элементов структуры, описываемой неориентированным графом, и степени централизации системы используется понятие центральности отдельных её элементов Z_i, рассчитываемой для неориентированного графа по формуле

i = 1,n , (1-2)

и равной отношению общего числа ступеней связей в системе к суммарному числу ступенчатых связей i-го элемента. Центральность Z_i характеризует степень удаления i-го элемента от других элементов системы. Чем больше Z_i , тем больше кратчайших путей приходит через i-й элемент.

Оценка централизации системы производится с помощью индекса центральности, вычисляемого для неориентированного графа по формуле

, (1-3)

где n - число элементов системы;

- максимальная центральность элемента в системе.

Для равномерного распределения связей центральности элементов одинаковы и  = 0, например, для сети

;

и

.

В другом крайнем случае в структуре типа “звезда” индекс центральности равен единице и рассчитывается как

Для ориентированного графа индекс центральности рассчитывается с помощью абсолютных рангов элементов системы (1-1) по формуле

, (1-4)

показывающей отношение среднего отклонения ранга элемента от максимального к максимальному рангу.

Индекс  также изменяется от 0 в равномерной структуре типа «кольцо, сеть» до 1 в центральной системе типа «звезда».