2. Структурные математические модели

1. Основы структурного моделирования

Способ создания структурной модели рассмотрим на примере простого устройства (регулятор давления – рис. 2.1), с помощью которого можно поддерживать постоянным давление воды в трубопроводе при изменении ее расхода.

Рис. 2.1. Регулятор давления прямого действия

Оно состоит из коробки с мембраной 1, верхняя полость которой сообщается соединительной трубкой 2 с участком трубопровода, где необходимо поддерживать постоянным давление p_т, груза 3 массой G, закрепленного на поворот­ном рычаге 4, и игольчатого клапана 5. Его шток 6 через уплотнение 7 выведен из корпуса клапана и посредством пальца 8 соединен с вилкой поворотного рычага 4, а верхним концом упирается в жесткий диск 10, являющийся активной частью S мембраны 1. При постоянном расходе воды через клапан G_пр и некотором постоянном давлении p_т, которое может контролироваться манометром 12, усилие, прило­женное к диску 10, уравновешивается грузом 3. При этом диск мембраны и шток клапана неподвижны. С изменением расхода воды со стороны потребителя G_ст (допустим, при его увеличении) ее давление начнет уменьшаться, следовательно, уменьшится и усилие, развивае­мое диском 10. Тогда под действием груза рычаг будет поворачивать­ся против часовой стрелки относительно своей опоры 9 и перемещать на величину h вверх шток, а вместе с ним и иглу 5, увеличивая при этом проходное сечение клапана. Если давление до регулирующего клапана превыша­ет Р_т, а источник водоснабжения по своим запасам значительно превосходит максимально возможный расход потребителя, то подъем штока клапана и регулирующей иглы приведет к увеличению расхода воды через клапан и восстановлению нарушенного равновесия между ее притоком и стоком. Очевидно также, что перемещение диска мембраны и подъем штока будут происходить до выравнивания моментов сил M₁ и М₂, развиваемых грузом 3 и диском 10 мембраны относи­тельно опоры 9: M₁ = M₂ или G∙l₁ = p_т∙S∙l₂, где l₁ и l₂ – плечи рычага. Это равенство наступит лишь при достижении давления воды за клапаном, равного своему перво­начальному значению p_т. Таким же образом устройство будет восстанавливать давление и при уменьшении расхода со стороны потребителя, действуя в направ­лении закрытия клапана.

Условимся в дальнейшем называть: участок трубопро­вода от клапана до точки измерения давления – участком регулирования; давление воды р_т – регулируемой величи­ной; клапан 5, регулирующий расход воды, – регулирующим органом; мембрану 1, воспринимающую давление воды, – измерительным устройством; активную часть мембраны или диск, развивающий усилие, необходимое для перемещения регулирующего органа, – усилительным устройством; груз 3, перемещаемый вдоль рычага 4 и уравновешивающий усилие мембраны, – задающим устройством, или задатчиком. Из­мерительное и усилительное устройства вместе с задатчи­ком образуют регулятор.

Схема, приведенная на рис. 2.2, полностью отражает работу рассмотренного автоматического устройства, однако на ней отсутствуют изображения конкретных узлов и дета­лей (корпус клапана, мембрана, груз, соединительная ли­ния и т. д.). Условные обозначения сигналов у, х, и, x_в, используемые на схеме, – безразмерные величины. Это по­зволяет применить математические методы для анализа действия рассмотренной автоматической системы регулирования (АСР) ко всем устройствам анало­гичной структуры независимо от их конструктивного или технического исполнения. Поэтому данная схема носит на­звание структурной.

Рис. 2.2. Структурные схемы АСР: а – замкнутой; б – разомкнутой; 1 – объект регулирования; 2 – регулятор; 3 – регулирующий орган; 4 – точка разветвления; 5 – элемент сравнения сигналов

Введем общие понятия для АСР различного назначения: входное воздействие – воздействие, приложенное к входу АСР, в данном случае изменение расхода воды на притоке ΔG_пр; внешнее возмущающее воздействие, в данном случае изменение расхода на стоке ΔG_ст; выходное воздействие – воздействие, выдаваемое на выходе АСР, в данном случае изменение давления воды р_т; регулирующее воздействие – воздействие регулятора на управляемый объект, в данном случае перемещение регулирующего клапана; задающее (заранее заданное) воздействие, в данном случае переме­щение груза, уравновешивающего усилие мембраны, вдоль рычага, на котором он закреплен.

Величины, характеризующие воздействия, называются сигналами. Следующие условные обозначения являются общими для всех автоматических систем:

– выходной сигнал объекта, системы регулирования;

– входной сигнал объекта, системы регулирования со стороны регулирующего органа;

– сигнал внешнего возмущающего воздействия;

– сигнал на выходе регулятора или регулирующий сигнал;

– сигнал на выходе задатчика или задающий сигнал.

В принятых обозначениях Δ означает приращение ве­личин относительно их номинальных или заданных значе­ний, обозначенных индексом «0».

Появление небаланса между прито­ком и стоком или появление внешнего возмущающего воз­действия x_в вызывает падение давления р_т или эквивалент­ного ему выходного значения у. Тогда из-за разницы в уси­лиях, развиваемых грузом G и давлением р_т, действующих на диск 10 (см. рис. 2.1), т. е. из-за разности сигналов , игольчатый клапан будет перемещаться до тех пор, пока не исчезнет небаланс между притоком и стоком.

Перемещение клапана обозначается на схеме – x_р (со знаком минус). Физически это означает, что перемещение клапана происходит в направлении, противоположном пер­воначальному небалансу между притоком и стоком, т. е. в сторону «открыть» при и в сторону «закрыть» при . Стрелки на схеме указывают направление потока вещества или энергии в объекте управления и воздействия регулятора на регулирующий орган.

Рассмотрим некоторые особенности АСР, структурная схема которой представлена на рис. 2.2,а. Выходная вели­чина объекта регулирования р_т может изменяться под действием двух факторов: внешнего возмущающего воздействия x_в (возмущение на стоке) и регулирующего воздействия x_р (изменение расхода на притоке). При этом увеличение или уменьшение у вызывает перемещение регу­лирующего органа x_р, что приводит к восстановлению первоначального значения р_т посредством изменения регу­лирующего воздействия x_р. Таким образом, выход объекта управления через регулятор связан с его входом. Такого рода системы относятся к устройствам с замкнутой цепью воздействия и носят название замкнутых автоматических систем регулирования. Поскольку воздействие с выхода объекта на его вход осуществляется в рассматриваемом примере лишь по единственному каналу, система называется одноконтурной, что вполне соответствует ее изобра­жению на рис. 2.2,а. Передача воздействия с выхода объекта или системы регулирования на вход носит название обратной связи. Канал, по которому передается это воз­действие, называется каналом обратной связи.

Подавляющее большинство промышленных АСР, в том числе применяемых на ТЭС, относится к замкнутым си­стемам.

В отличие от замкнутых АСР существуют разомкнутые системы, которые могут быть получены при устранении одной из связей замкнутого контура. В рассматриваемом на рис. 2.1 примере можно разомкнуть систему, перекрыв соединительную трубку 2. Структурная схема разомкнутой системы представлена на рис. 2.2,б. Здесь изменение давления р_т под действием внешнего возмущения х_в не приведет к пере­мещению регулирующего органа x_р и изменению х, посколь­ку нарушена связь измерительного устройства регулятора с регулируемой величиной.

Рассмотрим отдельные элементы, из которых составлены схемы на рис. 2.2. Элемент 1 (или 2) называется звеном. В общем случае звеном называют простейший элемент системы, отличающийся единством конструкции или одно­родностью протекающего в нем физического (технологиче­ского) процесса. На структурных схемах звено изобра­жается прямоугольником с указанием стрелками направления входного и выходного сигналов. В реальных системах звеном может быть объект управления, регулятор или от­дельные их части, в которых происходит преобразование входной величины в выходную. Математическим описанием звена служит уравнение, связывающее входную и выходную величины в установившемся состоянии, т.е. в статике y = f(x), или в состоянии движения, т. е. в динамике dy(t)/dt = f(x(t),y(t)).

Элементы или устройства, выполняющие функции срав­нения нескольких величин, носят название сумматоров. Математическим описанием суммирующего элемента служит операция алгебраического сложения двух или нескольких величин. В данном случае сумматор описы­вается следующими уравнениями:

для точки 3 − x^c = x − x_р;

для точки 5 − y* = y − u₀.

Точка 4 схемы называется точкой разветвления. В точке разветвления не происходит разделения сигнала у по мощности, т. е. мощность сигнала до точки разветвления на схеме и после нее остается неизменной.

Используя понятия звена, сумматора, точки разветвле­ния, можно со­ставить упрощенные структурные схемы любой промышлен­ной АСР.