5.6.2. Метод Ньютона. Рассмотрим граничную задачу, определяемую дифференциальным уравнением второго порядка

с граничными условиями , .

Запишем дифференциальное уравнение второго порядка в виде системы двух дифференциальных уравнений первого порядка:

, .

Обозначим недостающее начальное значение производной через s: , или .

Задача заключается в том, чтобы найти такое значение s, при котором решение задачи Коши удовлетворяет граничному условию во второй точке. Иначе говоря, если решение задачи Коши обозначить через у(х, s) и u(х, s), то требуется найти такое значение s, что .

В методе Ньютона итерационная формула для s задается в виде

или .

Чтобы найти производную у по s, продифференцируем граничные условия по s и получим

, и , ,

где , .

Далее, решение задачи может быть получено следующими действиями:

1. Выбирается значение s для недостающего начального значения производной. Это приближенное значение s обозначается через s⁽¹⁾.

2. Интегрируется задача Коши от x = 0 до x = L.

3. Интегрируются уравнения , со своими начальными условиями от х = 0 до x = L.

4. Значения y(L, s⁽¹⁾) и Y (L, s⁽¹⁾) подставляются в формулу

,

что дает следующее приближение s⁽²⁾ для недостающего начального значения производной.

5. Шаги 2 – 4 повторяются до тех пор, пока величина s не будет найдена с заданной точностью.

5.7. Решение краевых задач методом конечных разностей

5.7.1. Метод конечных разностей.

Чтобы получить численное решение дифференциального уравнения, следует заменить непрерывные переменные на дискретные. Это осуществляется путём замены производных отношениями конечных разностей. В результате получается система алгебраических уравнений.

Рассмотрим непрерывную функцию u(x). Разделим ось x на конечные интервалы длиной Δx. В трёх произвольных соседних точках x_n-1, x_n и x_n+1 функция u(х) будет принимать значения u_n-1, u_n и u_n+1.

Значения u_n-1 и u_n+1 можно выразить через u_n и Δx при помощи рядов

, .

Следовательно, ,

.

Эти выражения называются разностью вперёд и разностью назад. Первым отбрасываемым членом в обеих формах является . Так как этот член содержит Δx в первой степени, ошибка аппроксимации имеет первый порядок.

Конечно-разностный аналог второй производной имеет вид

.

Это представление также имеет второй порядок аппроксимации. Подобным образом третья производная даётся выражением

.

5.7.2. Линейные дифференциальные уравнения.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка

с граничными условиями и .

Точки сетки определяются как , где N – полное число интервалов и x_n = L.

Значения переменной y и её производных в точке x_n задаются соотношениями: , , .

Таким образом, исходное уравнение принимает вид

,

или

,

где , , , ,

а граничные условия – вид , .

В векторно-матричной форме уравнения можно записать в виде

,

где , ;

.

Матрица A трёхдиагональна. Следовательно, для решения уравнения можно использовать процедуру факторизации. Предположим, что A – невырожденная матрица и может быть факторизована как

A = L∙U,

где ;

.

Неизвестные связаны соотношениями

, ,

, ,

, .

Запишем уравнение A∙y = L∙U∙y = s = L∙z,

где U∙y = z,

.

Отсюда следует, что неизвестные компоненты вектора z определяют по формулам , , .

Поскольку вектор z теперь известен, можно найти значение y, так как матрица U уже известна. Из уравнения U∙y = z получаем

y_N-1 = z_N-1, y_n = z_n – g_n∙y_n + 1, n = N – 2, N – 3, …, 2, 1.

Это и есть решение исходного уравнения.

Итак, процесс решения граничной задачи состоит из следующих шагов:

1. Данное дифференциальное уравнение приводится к соответствующей конечно-разностной форме.

2. Определяются a_n, b_n, c_n, и r_n, входящие в уравнение.

3. Из системы уравнений находятся b_n и g_n .

4. Из системы уравнений находятся z_n .

Из системы уравнений находятся y_n, которые и являются искомым решением.