3. Элементы математической логики

3.1. Элементарные логические функции

Одним из основных понятий в математической логике является понятие высказывания. Под высказыванием понимается всякое предложение, относительно которого имеет смысл утверждать о его истинности или ложности. Например, 8 - четное число, 2 больше 10, сегодня воскресенье, и т.д.

Из простейших высказываний путем соединения их с помощью логических связок можно составлять новые, более сложные высказывания. Истинность или ложность новых высказываний определяется истинностью или ложностью составляющих высказываний и тем, какими логическими связками они соединены.

Абстрагируясь от конкретного содержания высказывания можно рассматривать его как некоторую величину, которая может иметь какое-либо одно значение из двух возможных значений: истина или ложь. При этом сложное высказывание, составленное из простых высказываний, в математической логике рассматривается как некоторая функция от высказываний-аргументов. Множество значений, которые может принимать функция, тоже состоит из двух элементов: истина и ложь.

В дальнейшем высказывания будем обозначать прописными буквами латинского алфавита. Значение истинности обозначают через 1, а значение лжи через 0.

Логика, которая оперирует лишь с объектами (высказывания, функции), принимающими одно из двух возможных значений, называется двузначной или булевой. Простые высказывания называются логическими или булевыми переменными, а их функции - логическими или булевыми функциями, либо функциями алгебры логики (ФАЛ).

Булева функция, зависящая отn аргументов, называется n-местной и является полностью заданной, если указаны ее значения для всех наборов значений аргументов. Так как число возможных значений каждого аргумента равно 2, то при числе аргументов n количество различных наборов значений аргументов равно 2ⁿ. Каждому набору может соответствовать одно из двух возможных значений функций. Следовательно, количество различных булевых функций от n переменных равно

Функции одной и двух логических переменных называются элементарными.

Логические функции одной переменной. Для одной переменной число функций равно 4. Все эти функции F₁, F₂, F₃, F₄ представлены в таблице 1, которая называется таблицей истинности логических функций. Значение функций F₁ и F₂ не

Таблица 1

x	F1	F2	F3	F4
0	1	0	0	1
1	1	0	1	0

зависят от значения аргумента X . Это константы F₁=1 и F₂=0. Значение функции F₃ повторяют значения аргумента X, F₃ = X. Нако-нец, значения функции F₄ противоположны значениям аргумента.

Функции F₁, F₂, F₃ являются тривиальными и практического интереса не представляют. Функция F₄ называется отрицанием или инверсией и обозначается .

Таблица 2.

X	1	0	1	0	Название функции	Обозначение	«Замечательные» свойства
Y	1	1	0	0			1	2	3	4	5
0	0	0	0	0	Константа 0	0	Х			Х	Х
1	0	0	0	1	Стрелка Пирса	XY
2	0	0	1	0	Запрет по Y	XY	X
3	0	0	1	1	Инверсия Y				X		X
4	0	1	0	0	Запрет по Х	YX	X
5	0	1	0	1	Инверсия Х				Х		Х
6	0	1	1	0	Сумма по модулю 2	ХY	X				X
7	0	1	1	1	Штрих Шеффера	X/Y
8	1	0	0	0	Конъюнкция, умножение	XY, XY X&Y	X	X		X
9	1	0	0	1	Эквивалентность	XY		X
10	1	0	1	0	Переменная Х	Х	Х	Х	Х	Х	Х
11	1	0	1	1	Импликация от Y к Х	YX		X
12	1	1	0	0	Переменная Y	Y	X	X	X	X	X
13	1	1	0	1	Импликация от Х к Y	XY		X
14	1	1	1	0	Дизъюнкция, сложение	X+Y, XY	X	X		X
15	1	1	1	1	Константа 1	1		Х		Х	Х

Логические функции двух переменных. Для двух переменных число всех возможных функций равно 2⁴ = 16 . Полный набор функций двух переменных, их обозначения и названия приведены в табл.2. Из таблицы видно, что восемь функций могут быть получены из других восьми путем применения операции отрицания.

Некоторые логические функции обладают определенными свойствами, получившими название “замечательные” свойства. Всего различают пять “ замечательных” свойств. В табл.2 эти свойства отмечены номерами: 1- свойство сохранять нуль, 2- свойство сохранять единицу, 3- самодвойственность, 4-монотонность, 5-линейность. Более подробно об этих свойствах сказано дальше.