2. Элементы теории графов

2.1. Основные определения

Графом G(X,U) называется упорядоченная пара множеств: X и UX². Элементы множества X называются вершинами графа, элементы множества U, представляющие собой пары {x_i, x_j}U называются ребрами графа, либо, если пары упорядочены (x_i, x_j)U, то они называются дугами.

Геометрически граф можно представить в виде множества точек X={x₁, x₂,..., x_n} и множества линий, соединяющих эти точки. Точки представляют собой вершины графа, а линии, их соединяющие - ребра или дуги. Если указывается направление, то линии называются дугами, а граф называется ориентированным или направленным. Если направление не указывается, то линии называются ребрами, а граф - неориентированным (ненаправленным).

Граф определяет некоторое отношение между элементами множества X. То, что элемент x_jX находятся в отношении Г_ij к элементу x_iX, отображается на графе соединением элементов x_i и x_j линией (дугой или ребром).

Аналитически любой ориентированный граф описывается системой алгебраических уравнений и наоборот, любая система алгебраических уравнений может быть представлена в виде направленного графа. Например, граф на рис.5. определяет следующую систему уравнений:

x₁=Г₇₁x₇; x₄=Г₁₄x₁+Г₂₄x₂; x₈=Г₇₈x₇+Г₄₈x₄+Г₉₈x₉;

x₂=Г₁₂x₁+Г₅₂x₅; x₅=Г₈₅x₈+Г₂₅x₂; x₉=Г₈₉x₈.

x₃=Г₂₃x₂; x₆=Г₅₆x₅+Г₉₆x₉;

Рис.5. Ориентированный граф

В неориентированном графе для любых двух вершин x_i,x_jX справедливо Г_ij= Г_ji.

Две вершины x_i,x_jX называются смежными, если они определяют ребро (дугу).

Два различных ребра (дуги) называются смежными, если они имеют общую вершину.

Вершина x_i инцидента ребру (дуге) U_j, если она является началом или концом ребра (дуги) . Аналогично ребро (дуга) U_j инцидентно вершине x_j, если оно входит или выходит из этой вершины.

Число ребер (дуг) инцидентных некоторой вершине x_j, называются степенью вершины и обозначают (x_j). Для графа на рис.5 можно записать (x₁)=3, (x₂)=5 и т.д.

Вершину, неинцидентную никакому ребру (дуге), называют изолированной. Граф, состоящий только из изолированных вершин, называют нуль-графом и обозначают G₀.

Граф называют однородным степени t, если степени всех его вершин равны t.

Граф, в котором, перемещаясь по ребру (дугам) из вершины в вершину, можно попасть в каждую вершину, называют связным. Граф, состоящий из отдельных фрагментов, называют несвязным, состоящим из отдельных компонентов связности.

Рис.6. Несвязный граф

Число, равное разности между числом вершин графа n и числом компонент связности P, называют рангом графа R(G)=n-P. На рис.6 n=13, P=3, R(G)=10.

При изображении графа в виде геометрической фигуры допускается произвольное расположение вершин и ребер графа, т.е. один и тот же граф может иметь различную геометрическую реализацию. Два графа называются изоморфными, если они имеют одинаковое число вершин и если каждой паре вершин, соединенных ребром (дугой), в одном графе соответствует такая же пара вершин, соединенных ребром (дугой), в другом графе. На рис.7 показан пример изоморфных графов.

Последовательность ребер, получаемая при переходе от одной вершины графа к другой, называют цепью.

Рис.7. Пример изоморфных графов

Замкнутая цепь называется циклом. Причем каждое ребро цикла может войти в цикл не более одного раза. Цикл считают простым, если в нем нет повторяющихся вершин, и сложным, если такие имеются. Цикл называют элементарным, если он не содержит в себе никаких других циклов.

Эйлеров цикл - это цикл, в котором содержатся все ребра графа. Граф, имеющий такой цикл, называют эйлеровым графом. Достаточным условием наличия в конечном связном графе эйлерова цикла является четность степеней всех его вершин.

Рис.8. Примеры эйлеровых графов

Гамильгонов цикл - это цикл, который содержит все вершины графа, причем каждая вершина входит в цикл один раз. На рис.9 приведены примеры гамильтоновых графов, т.е. графов, содержащих гамильтоновы циклы

Рис.9. Примеры гамильтоновых графов