1.5. Конечные и бесконечные множества. Мощность множества

Множества бывают конечные и бесконечные, счетные и несчетные. В конечном множестве число элементов конечно. Бесконечное множество содержит бесконечное число элементов.

Для сравнения множеств между собой вводят понятие мощности множества. Для конечных множеств понятие мощности соответствует числу элементов множества. Бесконечные множества можно сравнивать по мощности путем установления взаимнооднозначного соответствия между элементами одного и другого множества.

Два множества M и N, называются эквивалентными по мощности (обозначение MN), если между их элементами можно установить биекцию.

Множество называется счетным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел.

Рассмотрим несколько примеров счетных множеств.

1. Множество всех целых чисел. Установим биекцию между множеством всех целых чисел и множеством всех натуральных чисел. Для этого расположим элементы этих множеств друг под другом попарно следующим образом

0	-1	1	-2	2	-3	3	-4	4	.	.	.
1	2	3	4	5	6	7	8	9	.	.	.

Этим самым биекция установлена, значит эквивалентность этих множеств доказана.

2. Множество всех рациональных чисел. Каждое рациональное число записывается однозначно в виде несократимой дроби: =p/q, q>0. Назовем сумму +q высотой рационального числа α. Число дробей с данной высотой конечно. Например, высоту 1 имеет только число 0/1. Высоту 2 - числа 1/1 и -1/1. высоту 3 - числа 2/1, 1/2, -2/1 и -1/2 и т.д. Будем нумеровать все рациональные числа по возрастанию высоты. При этом всякое рациональное число получит некоторый номер, т.е. будет установлена биекция между всеми натуральными и всеми рациональными числами.

Среди всех бесконечных множеств существуют такие, которые не являются счетными - это несчетные множества. Между счетным множеством и несчетным множеством биекцию провести нельзя, в последнем всегда элементов “больше”. Покажем, что множество действительных чисел, заключенных между нулем и единицей, несчетно.

Пусть множество P=[0,1] счетно, т.е. все точки этого отрезка можно последовательно пронумеровать: x₁,x₂,..., x_n,... Разделим отрезок [0,1] на три равных отрезка. Тогда по крайней мере один из отрезков не содержит точки x₁. Точка x₁ может принадлежать либо одному отрезку либо двум, если она лежит на их границе. Отрезок A₁, который не содержит точки x₁, снова разделим на три равных отрезка. По крайней мере один из них A₂ не содержит точки x₂. Отрезок A₂ который не содержит x₂, снова разделим на три равных отрезка и т.д. В результате получим последовательность вложенных один в другой отрезков A₁,A₂,..., A_n. Пусть x_k - точка, которая принадлежит всем этим отрезкам. Тогда, с одной стороны, x_k[0,1] и в силу счетности точек отрезка входит в последовательность x₁,x₂,..., x_n,... С другой стороны, точка x_k не может совпасть ни с одной из точек этой последовательности, поскольку отрезки A₁, A_2… так построены, что ни одна из точек счетного множества x₁,x₂,..., x_n,... им не принадлежит. Из этого следует, что принятое допущение о том, что множество P=[0,1]счетное неверно, т.е. множество несчетно.

Несчетные множества тоже можно сравнивать между собой путем построения биекции. Если биекцию удается построить, то этим самым доказывается эквивалентность множеств.

Рассмотрим примеры. Множества точек на любых двух отрезках эквивалентны между собой. На рис.4 показано, как можно установить биекцию между двумя различными отрезками ab и cd.

Рис.4. Построение биекции между элементами множеств ab и cd

Множество точек в интервале 0,1 эквивалентно множеству всех точек на прямой. Биекцию можно установить, например, с помощью функции

, -<x<, 0<y<1

Из приведенных примеров следует, что множество точек любого отрезка эквивалентно множеству точек бесконечной прямой; любые отрезки эквивалентны между собой.

Нетрудно установить из приведенных примеров, что всякое бесконечное множество (счетное и несчетное) эквивалентно своему истинному подмножеству (бесконечному).

Например, натуральных чисел оказывается “столько же” сколько и всех целых, сколько всех четных, нечетных, рациональных и т.д. На любом отрезке можно выделить часть его, а затем построить биекцию между отрезком и его частью, т.е. часть оказывается эквивалентной целому. Это свойство характерно для любого бесконечного множества. Мощность бесконечного множества точек на прямой называется мощностью континуума.

Пусть M - некоторое множество и пусть 2^m - множество - степень M. Тогда 2^m имеет мощность большую, чем мощность исходного множества M. Если рассмотреть множество-степень счетного множества, то оказывается, что его мощность равна мощности континуума. Для любого множества мощности континуума можно рассмотреть его множество-степень и мощность этого нового множества будет больше мощности континуума. Затем можно рассмотреть опять множество-степень этого нового множества и опять его мощность будет больше. Таким образом, не существует верхней границы мощности множеств, подобно тому как не существует “самого большого” числа.

Литература.

1. Коршунов Ю. М. Математические основы кибернетики: Учеб. пособие для вузов.- М.:Энергоатомиздат, 1987.- 496 с.;ил.

2. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера.-К.: Техника, 1975-799с.:ил.

3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.- М.:Наука,1972.-495 с.;ил.