- •Министерство образования и науки Украины
- •Введение
- •1. Элементы теории множеств
- •1.1. Основные определения
- •Операции над множествами
- •1.3. Упорядоченное множество и прямое произведение множеств
- •1.4. Соответствия
- •1.5. Конечные и бесконечные множества. Мощность множества
- •2. Элементы теории графов
- •2.1. Основные определения
- •2.2. Способы задания графов
- •2.3. Операции над графами
- •2.4. Характеристические числа графов
- •2.5. Плоские графы
- •3. Элементы математической логики
- •3.1. Элементарные логические функции
- •3.2. Принцип суперпозиции. Законы и тождества алгебры логики
- •3.3. Способы задания логической функции
- •3.4. Конституенты единицы и нуля. Составление логической формулы по
- •3.5. Полином Жегалкина
- •3.6. Замкнутые классы логических функций
- •Элементарных булевых функций
- •Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы булевых функций
- •Минимизация булевых функций
- •1. Заданная функция преобразуется в сднф.
- •Минимизация не полностью определенных булевых функций
- •Синтез схем со многими выходами
- •4. Конечные автоматы
- •Основные понятия и определения
- •Переход от автомата Мили к эквивалентному автомату Мура и наоборот
- •Минимизация числа состояний конечного автомата
- •Постановка задачи синтеза автоматов
- •Структурно полные системы автоматов. Теорема о структурной полноте
- •Элементарные автоматы
- •4. 4. 3. Структурный синтез конечных автоматов
- •5. Случайные процессы в системах управления
- •5.1. Случайные величины и их основные характеристики
- •5.1.1. Интегральный закон распределения (функция распределения)
- •5.1.2. Дифференциальный закон распределения (плотность вероятности)
- •5.1.3. Моменты случайных величин и их свойства
- •5.2. Векторные случайные величины
- •5.2.1. Функция распределения двумерного случайного вектора
- •5.2.2. Функция плотности вероятности двумерного случайного вектора
- •5.2.3. Моменты системы случайных величин
- •5.3. Случайные функции. Многомерные законы распределения
- •5.4. Характеристики случайных функций
- •5.5. Операции над случайными функциями
- •5.5.1. Суммирование случайной и детерминированной функций
- •5.5.2. Интегрирование случайной функции
- •5.5.3. Дифференцирование случайной функции
- •5.5.4. Сложение случайных функций
- •5.6. Стационарные случайные процессы
- •5.6.1. Эргодическая теорема
- •5.6.2. Корреляционная функция стационарного случайного процесса
- •5.6.3. Расчет корреляционной функции по экспериментальным данным
- •5.7. Спектральная плотность стационарного случайного процесса
- •5.8. Связь между спектральной плотностью и корреляционной функцией стационарного случайного процесса
- •5.9. Случайные функции и их характеристики (примеры)
- •5.10. Прохождение стационарного случайного сигнала через линейную систему
5.10. Прохождение стационарного случайного сигнала через линейную систему
Стационарная линейная система описывается дифференциальным уравнением вида
a0Y(n)(t)+a1Y(n-1)(t)+ ... +anY(t)=b0X(m)(t)+ ... +bmX(t) (8) где X(t) - входной сигнал, Y(t) - выходной сигнал, ao, a1 ... an, bo ... bm - постоянные коэффициенты. Применим операцию преобразования Лапласа к уравнению (8), приняв нулевые начальные условия:
(aoPn+a1Pn-1+ ... +an)Y(P)=(boPm+b1Pm-1+ ... +bm)X(P) (9) где - изображения Лапласа функцийY(t) и X(t).
Отношение Y(P)/X(P)=K(P) называется передаточной функцией системы. Из (9) следует, что
(10)
При подстановке в передаточную функцию Р=j получим комплексную передаточную функцию, представляющую собой отношение изображения Фурье выходного сигнала к изображению Фурье входного сигнала системы:
(11) где
Действительно, для функции времени X(t), на которую накладываются ограничения X(t)=0 при t<0, X(t)<Met при t>0, где М и - некоторые положительные постоянные, можно найти изображение Лапласа по формуле
Для этой же функции изображение Фурье равно
Учитывая ограничения, можно сделать вывод, что если в изображение Лапласа некоторой функции времени вместо Р подставить j, то получим изображение Фурье той же функции времени. Из уравнения (11) следует:
Y(j)=K(j)X(j)
Возьмем модули левой и правой частей последнего уравнения, возведем их в квадрат, разделим на 2Т и перейдем к пределу при Т:
Откуда следует:
или
Sy()=Sx()K(j)2. (12)
При известной передаточной функции системы K(P) и известной спектральной плотности Sх() стационарного случайного сигнала X(t), действующего на входе системы, по формуле (12) можно найти спектральную плотность стационарного случайного сигнала на выходе системы.
Дисперсия выходного сигнала равна
(13) Подынтегральное выражение в формуле (13) имеет вид:
где А(j) и В(j) представляют собой полиномы от комплексной переменной j. Обозначим наивысшую степень знаменателя через 2n. Наивысшая степень числителя для реальных систем может быть не более 2n-2. Для интегрирования по формуле (13) подынтегральное выражение представляют в следующей форме:
Откуда
Интегралы In для различных значений n приведены в справочниках и учебниках по теории автоматического управления.
Математическое ожидание my стационарного случайного сигнала у(t) на выходе линейной системы с передаточной функцией K(P) связано с математическим ожиданием mх стационарного случайного сигнала Х(t) на входе системы следующей формулой:
my=K(0)mx, где K(0)=K(P) при Р=0.
Литература
1. Бессекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. - М.: Наука, 1972.- 767 с.; ил.
2. Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления. - М.: Физматгиз, 1960 с.;ил.