- •Министерство образования и науки Украины
- •Введение
- •1. Элементы теории множеств
- •1.1. Основные определения
- •Операции над множествами
- •1.3. Упорядоченное множество и прямое произведение множеств
- •1.4. Соответствия
- •1.5. Конечные и бесконечные множества. Мощность множества
- •2. Элементы теории графов
- •2.1. Основные определения
- •2.2. Способы задания графов
- •2.3. Операции над графами
- •2.4. Характеристические числа графов
- •2.5. Плоские графы
- •3. Элементы математической логики
- •3.1. Элементарные логические функции
- •3.2. Принцип суперпозиции. Законы и тождества алгебры логики
- •3.3. Способы задания логической функции
- •3.4. Конституенты единицы и нуля. Составление логической формулы по
- •3.5. Полином Жегалкина
- •3.6. Замкнутые классы логических функций
- •Элементарных булевых функций
- •Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы булевых функций
- •Минимизация булевых функций
- •1. Заданная функция преобразуется в сднф.
- •Минимизация не полностью определенных булевых функций
- •Синтез схем со многими выходами
- •4. Конечные автоматы
- •Основные понятия и определения
- •Переход от автомата Мили к эквивалентному автомату Мура и наоборот
- •Минимизация числа состояний конечного автомата
- •Постановка задачи синтеза автоматов
- •Структурно полные системы автоматов. Теорема о структурной полноте
- •Элементарные автоматы
- •4. 4. 3. Структурный синтез конечных автоматов
- •5. Случайные процессы в системах управления
- •5.1. Случайные величины и их основные характеристики
- •5.1.1. Интегральный закон распределения (функция распределения)
- •5.1.2. Дифференциальный закон распределения (плотность вероятности)
- •5.1.3. Моменты случайных величин и их свойства
- •5.2. Векторные случайные величины
- •5.2.1. Функция распределения двумерного случайного вектора
- •5.2.2. Функция плотности вероятности двумерного случайного вектора
- •5.2.3. Моменты системы случайных величин
- •5.3. Случайные функции. Многомерные законы распределения
- •5.4. Характеристики случайных функций
- •5.5. Операции над случайными функциями
- •5.5.1. Суммирование случайной и детерминированной функций
- •5.5.2. Интегрирование случайной функции
- •5.5.3. Дифференцирование случайной функции
- •5.5.4. Сложение случайных функций
- •5.6. Стационарные случайные процессы
- •5.6.1. Эргодическая теорема
- •5.6.2. Корреляционная функция стационарного случайного процесса
- •5.6.3. Расчет корреляционной функции по экспериментальным данным
- •5.7. Спектральная плотность стационарного случайного процесса
- •5.8. Связь между спектральной плотностью и корреляционной функцией стационарного случайного процесса
- •5.9. Случайные функции и их характеристики (примеры)
- •5.10. Прохождение стационарного случайного сигнала через линейную систему
5.4. Характеристики случайных функций
Для случайных функций вводят простейшие основные характеристики, аналогичные числовым характеристикам случайных величин. Для случайных величин числовые характеристики представляют собой некоторые числа. Характеристики случайных функций в общем случае - функции.
Математическим ожиданием (средним по множеству или по ансамблю) случайной функцииX(t) называется такая функция, значения которой при каждом данном значении аргумента t равна математическому ожиданию значений случайной функции х при этом t:
Таким образом, для нахождения случайной функции необходимо задать ее одномерный закон распределения. Математическое ожидание случайной функции представляет собой некоторую среднюю линию, около которой группируются и относительно которой колеблются все возможные реализации случайной функции. Это есть среднее значение, определенное на основании наблюдений над многими однотипными системами, находящимися при одинаковых условиях в одни и те же моменты времени. Эта величина зависит от момента времени t, для которого она определяется, и иногда называется статистическим средним.
Дисперсия случайной функции. Дисперсией случайной функции X(t) называется неслучайная функция Dx(t), значения которой для каждого значения аргумента t совпадает со значением дисперсии соответствующего сечения случайной функции:
Эта функция характеризует разброс возможных реализаций случайной функции относительно математического ожидания.
Для описания тесноты связи между значениями случайной функции в различные моменты времени t1,t2 служит корреляционная функция.
Корреляционная функция. Корреляционной функцией случайного процесса X(t) называется неслучайная функция двух аргументов Kx(t1,t2), которая при каждой паре значений t1 и t2 равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайной
Раскрыв символ математического ожидания, получим:
Положим t1 = t2, тогда
т.е. при равенстве аргументов корреляционная функция превращается в дисперсию случайной функции.
В качестве основных характеристик случайной функции достаточно рассматривать ее математическое ожидание и корреляционную функцию.
Поскольку корреляционный момент двух случайных величин X(t1) и X(t2) не зависит от порядка, в котором рассматриваются эти величины, то корреляционная функция симметрична относительно своих аргументов:
Kx(t1,t2)= Kx(t2,t1).
Вероятностные характеристики, определенные как средние по множеству реализаций, характеризуют случайный процесс в целом. Различают еще характеристики, как средние по времени, которые характеризуют одну какую-либо реализацию случайного процесса.
Пусть X1(t) - одна реализация процесса. Тогда ее среднее значение по времени будет равно:
Таким же образом можно определить и все другие вероятностные характеристики для одной реализации. Например, средний квадрат X1(t) равен:
Дисперсия одной реализации случайного процесса равна:
5.5. Операции над случайными функциями