МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ

ДОНЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра

Автоматики и Телекоммуникаций

Конспект лекций

ПО КУРСУ «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИСТЕМ»

для специальности «Системы управления и автоматики»

Утверждено

на заседании кафедры

автоматики и телекоммуникаций

Протокол № 11 от 06.11.2003 г.

Утверждено

на заседании учебно - издательского

совета ДонНТУ

Протокол № от 2003г.

Донецк, ДонНТУ 2003

УДК 62.505

Конспект лекций по курсу «Математические основы теории систем» (для студентов специальности 7.091401 Системы управления и автоматика)./Сост. В.Н. Ткаченко- Донецк: ДонНТУ, 2003 – 39 c.

В конспекте лекций изложены основные понятия теории систем, типичные приемы формализации процессов их функционирования, а также методы качественного и количественного анализа систем.

Составитель В.Н. Ткаченко, проф.

Отв. за выпуск В.И. Бессараб, доц.

Оглавление 1.СИСТЕМА ПЕРВОГО ПОРЯДКА........................................................... Основные понятия и определения........................................................ 1.2. Теоремы существования и единственности........................................ 1.3. Общее решение линейного уравнения первого порядка ................ 1.4. Представление уравнений состояния в виде блок-схем................... 1.5. Понятия теории устойчивости............................................................ 1.6. Линеаризация нелинейных систем....................................................... 1.7. Типовые возмущающие воздействия.................................................. U СИСТЕМЫ ВТОРОГО И БОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА............. 2.1.Приведение уравнений второго порядка к системам уравнений первого порядка........................................................................................... 2.2. Решение уравнений второго порядка ................................................. 2.3. Фазовая плоскость................................................................................ 2.4. Задача о колебаниях электрической цепи........................................... 2.5. Решение уравнений состояния n-го порядка...................................... 3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЦ........................................................... 3.1. Линейные векторные пространства..................................................... 3.2. Собственные векторы и собственные значения.................................. 3.3. Теорема Кели- Гамильтона................................................................... 3.4. Привидение матрицы к диагональному виду...................................... 4.РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ n-ГО ПОРЯДКА ......................... 4.1. Решение однородной линейной системы n-го порядка .................... 4.2. Решение неоднородной линейной системы ....................................... Понятие о канонической форме Жордана........................................... 4.4. Решение однородной линейной системы уравнений (общий случай)......................................................................................................... 4.5. Фундаментальная матрица однородной системы. .......................... 5. УСТОЙЧИВОСТЬ.................................................................................... 5.1. Определения устойчивости систем...................................................... 5.2. Первый метод Ляпунова........................................................................ ЛИТЕРАТУРА...............................................................................................

стр. 4 4 6 8 9 10 12 14 15 15 16 17 19 23 24 24 25 27 28 30 30 31 31 32 34 35 35 36 39

1.СИСТЕМА ПЕРВОГО ПОРЯДКА

1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

Динамика системы описывается ее математической моделью, например обыкновенными дифференциальными уравнениями и/или алгебраическими соотношениями. Эти системы, являются системами с сосредоточенными параметрами. Математическая модель отражает зависимость между тремя множествами переменных: переменные входа, состояния и выхода.

Вход – внешние переменные, действующие на систему. Выход – представляет описание непосредственно наблюдаемого (измеряемого) поведения системы.

Интерес представляют следующие проблемы:

- получение уравнения для переменных состояний данной системы;

- качественное и количественное ее исследование.

Многие системы могут быть описаны дифференциальными уравнениями первого порядка. Такие системы называются системами первого порядка. Они важны не только сами по себе, но и потому, что поведение более сложной системы можно оценить исходя из модели первого порядка.

(1)

. (2)

Соотношения (1), (2) будем называть как стандартную форму уравнений состояния : (1) - является дифференциальным уравнением состояния, (2) – уравнение типа вход – состояние – выход.

Для любой динамической системы ее поведение в данный момент времени зависит от переменных, действовавших в данный момент времени, а также от переменных, действовавших в прошлом. Такая система обладает памятью, которая учитывает вклад переменных, действовавших с некоторого момента до настоящего времени.

Состояние системы, определяемое как множество значений переменных состояния, представляет мгновенное значение этой памяти.

Система называется детерминированной, если ее выход и состояние в любой момент времени t можно достоверно определить по ее состоянию в некоторый момент и по известному входу из интервала.

Система называется стохастической, если выход системы в момент времени t можно определить только с определенной вероятностью или другими статистическими средствами ( например, законом распределения вероятности).

Выход объекта однозначно определяется вектором состояния или может совпадать с ним полностью или в некоторых компонентах. В качестве входа и выхода системы принимают измеряемые величины.

Вектор состояния должен быть минимальным с точки зрения полного определения состояния системы. Такое представление системы называется каноническим.

Число взаимно независимых управляемых переменных определяет размерность системы

Рассмотрим три типа состояния, которые важны в практическом анализе систем: нулевое состояние, установившееся состояние, состояние равновесия.

Нулевое – называется некоторое состояние , для которого g(,0,t)=0, для t₀  t <. т.е. нулевое состояние обладает свойством:

, если система находится в нулевом состоянии x(t₀)= и u(t)=0 для всех t, то тогда выходной сигнал системы также равен 0, т.е. y(t)=0, при t₀  t  . Заметим, что нулевое состояние не единственное.

Установившееся состояние, если оно существует, есть такое единственное состояние , в которое система приходит при нулевом входном воздействии независимо от начального состояния.

Состояние равновесия есть некоторое состояние , в котором система остается при нулевом входном воздействии f(,0,t)=0, t₀  t < 

h

t

Эти три типа иллюстрируются на примере бусинки скользящей по проволоке. При скольжении бусинки вдоль проволоки возникает сила трения, препятствующая ее движению и постоянная сила тяжести. Скорость бусинки пропорциональна компоненте результирующей силы, действующей на бусинку вдоль проволоки

, где s расстояние от левого конца проволоки – является состоянием системы, результирующая внешняя сила, действующая на бусинку, является входной переменной. Скорость бусинки является выходной переменной.

В этом случае состояния равновесия и нулевые состояния совпадают.

Если же y = h – выходная величина есть высота h, с выбранным нулевым уровнем, совпадающим с высотой одного из состояний равновесия, то другие состояния равновесия не являлись бы нулевыми состояниями.

Из этого примера следует, что существование выделенных особых состояний зависит от системы выбранных величин состояний и выходов.