лекции по МОТС / Решетчатые функции

Математический аппарат описания импульсных систем

Решетчатые функции

Рабочие файлы: [z_sin.vsm]

Решетчатые функции 2 определены только в дискретные моменты времени [nT] (сокращенно [n]), и формируются из непрерывных функций 1: f [nT] = f (t) при t=nT. Рассматривают так же смещенные решетчатые функции (последовательность 3): f [n, ε] = f (t) при t=(n+ε)T, где ε - относительное смещение, ε[0..1).

Непрерывные функции, проходящие через дискреты заданной решетчатой функции, называют огибающими. Их бесконечно много.

Основная огибающая может быть получена, как результат решения ДУ наименьшего порядка и должна содержать гармоники наименьшей частоты.

Дифференцирование и интегрирование решетчатых функций

Рабочие файлы: [S & 1/S]

 Аналогом первой производной для решетчатой функции является либо первая прямая разность:

Δ f [n] = f [n+1] - f [n],

либо первая обратная разность:

 f [n] = f [n] - f [n-1].

Аналогами второй производной являются вторые разности. Прямая:

Δ² f [n] = Δ f [n+1] - Δ f [n] = (f [n+2] - f [n+1]) - (f [n+1] - f [n]) = f [n+2] - 2 f [n+1] + f [n],

и обратная:

² f [n] =  f [n] -  f [n-1] = f [n] - 2 f [n-1] + f [n-2].

По аналогии могут определяться и высшие разности:

Δk f [n] = ν=0k∑(-1)νCkνf [n+k-ν]

k f [n] = ν=0k∑(-1)νCkνf [n-ν]

где: C_k^ν = k! / (ν!(k-ν)!).

Очевидно, что если f [n] определена только для положительных n, то для n=0 все обратные разности ^k f [n] равны нулю, что позволяет ...

 Аналогом интеграла является неполная сумма:

σ[n] = _m=0^n-1∑ f [m] = _ν=1ⁿ∑ f [n-ν],

и полная сумма:

σ_o[n] = σ[n] + f [n].

Разностные уравнения

Аналогом ДУ для импульсной системы является уравнение в конечных разностях или разностное уравнение (РУ):

b₀^my[n] + b₁^m-1y[n] + ... + b_m y[n] = f [n],

(оно может быть составлено и в прямых разностях). Если раскрыть разности, то уравнение будет иметь вид:

(1)

a₀ y[n] + a₁ y[n-1] + ... + a_m y[n-m] = f [n],

где:

am-k = ν=0k∑ (-1)m-k bν Cm-νk-ν ;

Cm-νk-ν = (m-ν)! / [ (k-ν)! (m-k)! ] .

РУ легко машинизируются и для их расчета можно составлять рекуррентный алгоритм.

Учтем запаздывание передаточной функцией звена чистого запаздывания и вынесем теперь уже изображение дискретной последовательности y[n] в уравнении (1) за скобку:

(a₀ + a₁e^-Ts + ... + a_me^-mTs) Y ^*[s] = F ^*[s],

введем обозначение z = e^Ts и перепишем уравнение:

(a₀ + a₁ z ^-1 + ... + a_m z ^-m) Y [z] = F [z].

Решая для него ХУ (левая часть приравненная к нулю) можно получить "Общее решение" - т.е. переходную составляющую:

y [n] = С₁ z₁ⁿ + С₂ z₂ⁿ + ... + С_m z_mⁿ ,

где: z₁, z₂, ..., z_m - корни ХУ; а C_i - произвольные постоянные.

Вид решения ХУ определяет условие устойчивости для систем, описанных с помощью РУ:

| z_i | < 1.

Z-преобразование

Рабочие файлы: [Int_Furie.vsm] [См. синтез меандра]

Для решетчатых функций времени может быть введено понятие дискретного преобразования Лапласа:

которое называется Z-преобразованием при подстановке z = e^Ts, и связывает изображение с оригиналом.

Z-преобразования (изображения) типовых решетчатых функций и типовых непрерывных ПФ W(s) сведены в таблицы. Определены правила и теоремы для математических манипуляций с ними.