5.5.4. Сложение случайных функций
Если на вход динамической системы поступает не одна случайная функция Х(t1), а две или больше, то возникает задача сложения случайных функций. Точнее эту задачу можно определить как задачу определения характеристик суммы по характеристикам слагаемых.
Если складываемые случайные функции не коррелированны между собой, задача решается просто. В случае зависимости функций - слагаемых для решения задачи необходимо знать еще одну характеристику - взаимную корреляционную функцию.
Взаимной корреляционной функцией двух случайных функций Х(t) и Y(t) называется неслучайная функция двух аргументов t1 и t2, которая при каждой паре значений t1 и t2 равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайной функции Х(t) и случайной функции Y(t):
Взаимная корреляционная функция, как и автокорреляционная функция, не изменяется при прибавлении к случайным функциям любых неслучайных слагаемых, а значит и при центрировании случайных функций. Из определения следует важное свойство взаимной корреляционной функции: Кxy(t1,t2)=Kyx(t2,t1).
Случайные функции Х(t) и Y(t) называются некоррелированными, если взаимная корреляционная функция равна нулю при всех значениях t1, t2. При решении практических задач о некоррелированности случайных функций судят в большинстве случаев не по равенству взаимной корреляционной функции нулю. Наоборот, взаимную корреляционную функцию полагают равной нулю, если на основании соображений о физических свойствах процессов их можно считать независимыми. Если известны математические ожидания и корреляционные функции двух случайных функций Х(t) и Y(t), а так же их взаимная корреляционная функция, то можно определить характеристики суммы этих двух случайных функций:
Z(t)=X(t)+Y(t).
В соответствии с теоремой сложения математических ожиданий
mz(t)=mx(t)+my(t),
т.е. математическое ожидание суммы двух случайных функций равно сумме их математических ожиданий. Найдем корреляционную функцию
Учитывая, что Z(t)=X(t)+Y(t), после подстановки получим:
Если случайные функции Х(t) и Y(t) не коррелированны, выражение Kz(t1,t2) принимает вид: Kz(t1,t2)=Kx(t1,t2)+Ky(t1,t2).
Корреляционная функция суммы двух не коррелированных случайных функций равна сумме их корреляционных функций.
5.6. Стационарные случайные процессы
Случайный процесс называется стационарным, если все плотности вероятности не зависят от изменения начала отсчета времени, т.е. если имеют место равенства
f1(x,t)=f1(x,t+);
f2(x1,t1,x2,t2)=f(x1,t+,x2,t+)
Первое из уравнений означает, что функция f1 вообще не зависит от t: f1(x,t)=f1(x). Второе уравнение означает, что f2 остается неизменной, если разность t2-t1= постоянна:
f2(x1,t1,x2,t2)=f(x1,x2,)
Итак, вероятностные характеристики стационарного случайного процесса не зависят от начала отсчета времени. Стационарный случайный процесс, это процесс, статистический характер которого неизменен во времени.
5.6.1. Эргодическая теорема
Стационарные случайные процессы обладают эргодическим свойством. Смысл его заключается в том, что все «средние», рассчитанные по множеству реализаций, равны соответствующим «средним», рассчитанным по времени для одной какой-нибудь реализации. Так, например,
Для многих процессов справедливость этого свойства строго доказана. Для некоторых процессов это свойство не доказано, но есть все основания считать его справедливым.
Физический смысл эргодической теоремы сводится к следующему.
Стационарный случайный процесс неизменен во времени в том смысле, что все плотности вероятности не зависят от начала отсчета времени. Поэтому, взяв два различных, достаточно длинных отрезка одной и той же случайной функции можно их рассматривать как две случайные функции, относящиеся к одной и той же статистической совокупности. Любую бесконечную кривую случайного процесса X(t) можно разрезать на сколь угодно большое количество достаточно длинных участков, которые могут рассматриваться как реализации одного и того же процесса.
Эргодическое свойство позволяет существенно упрощать исследование процесса. Поскольку вероятностные характеристики стационарного случайного процесса с течением времени не меняются, то длительное наблюдение случайного процесса на одном объекте дает в среднем такую же картину, как и большое число наблюдений, сделанное в одинаковые моменты времени на большом числе одинаковых объектов.
Таким образом, одна реализация случайного процесса на достаточно большом отрезке времени определяет собой весь случайный процесс со всеми его бесчисленными возможными реализациями.