5.6. Направляющие косинусы вектора

Пусть в пространстве с заданной прямоугольной системой координат задан ненулевой вектор (см. Рис.5.5.).

z

M

γ

β

O y

α

Рис.5.5.

Направление вектора в пространстве определяется углами , которые вектор составляет с осями координат. Косинусы этих углов называются направляющими .

_{Если вектор} задан координатами ={x;y;z} или _,

_{где - орты координатных осей, то x,y,z являются проекциями вектора на координатные оси OX, OY, OZ в соответствии с теоремой 5.1.1. получим следующие равенства:}

Возведем обе части соотношений (5.8.) в квадрат и сложим, получим: .

Сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице.

Для единичного вектора

разложение его по осям координат имеет вид: .

Пример 5.6.1. На точку действуют три силы Найти величину и направление равнодействующей силы .

Решение: Так как то R={20,9,12} тогда величина равна а ее направление определяется направляющими косинусами

Контрольные вопросы и задания.

1. Запишите условие коллениарности векторов.

2. Дайте определение скалярного произведения.

3. Перечислите свойства скалярного произведения.

4. Что определяют направляющие косинусы вектора?

5. Какому условию должны удовлетворять ненулевые векторы и , чтобы вектор был ортоганален вектору ?

6. Доказать, что скалярное произведение двух векторов не изменится, если к одному из них прибавить вектор, ортогональный другому сомножителю.

7. Найти величину угла между биссектрисами углов XOY и XOZ.

8. Какая тройка векторов называется правой?

Задачи для самостоятельной работы.

1. Вычислить скалярное произведение векторов и , если векторы и образуют угол и

2. Вычислить величину угла между векторами и, гдеи – единично взаимно перпендикулярные векторы.

3. Даны вершины треугольника A(-1, -2, 4), B(-4, -2, 0) и C(3, -2, 1).Определить величину его внутреннего угла при вершине B.

4. Даны три силы . Найти величину, направление равнодействующей силы R и работу, которую она производит, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно перемещается в положение.

5. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и .

6. Найти вектор , зная, что он перпендикулярен векторам a={2,3,-1} и b={1,-2,3} и удовлетворяет условию (x,2i-j+k) = -6 .

7. К некоторой точке приложены две силы, действующие под углом 120, причем . Найти величину равнодействующей силы.

5.7. Векторное произведение двух векторов

Определение 5.7.1. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1. вектор перпендикулярен векторам и , т.е. ;

Рис. 5.6.

2) модуль вектора численно равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах и , как на сторонах, т.е. ;

3) упорядоченная тройка векторов() является правой. В определении предполагается что.

Свойства векторного произведения

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет свой знак, сохраняя модуль.

— правая тройка

— левая тройка.

направлены противоположно

Рис.5.7.

2) Сочетательное свойство относительно скалярного множителя или векторное умножение ассоциативно относительно умножения на число, т.е.

3) Распределительное свойство или векторное умножение дистрибутивно относительно операции сложения векторов:

.

4) Если и , не равны нулю , то и коллинеарные вектора .

Для того чтобы два ненулевых вектора и были коллинеарны, необходимо и достаточно чтобы их векторное произведение равнялось нуль вектору.

5) Векторное произведение векторов :

a)	б)

в) .

6) Векторное произведение в координатной форме:

_{Пусть ,}

_{Умножимприменив третье свойство, а затем пятое:}

.

Пример 5.7.1. Найти площадь параллелограмма построенного на векторах и .

Решение:

кв. ед.

Пример 5.7.2. Сила P={2;-4;5} приложена к точке M₀(4;-2;3). Определить момент этой силы относительно точки A(3;2;-1).

Решение: Момент силы P относительно точки A есть вектор . Найдем координаты : ={1;-4;4} и координаты вектора :

Контрольные вопросы и задания.

1. Дайте определение векторного произведения.

2. Перечислите свойства векторного произведения.

3. Доказать, что векторное произведение не изменится, если к одному из сомножителей прибавить вектор, коллениарный другому сомножителю.

4. Запишите условие коллениарности векторов.

5. Найдите единичный вектор , одновременно перпендикулярный вектору и оси абсцисс.

Задачи для самостоятельной работы.

1. Найти координаты вектора [2a+b,b], если a={3,-1,-2}, b={1,2,-1} .

2. Вычислить площадь Sпараллелограмма, построенного на векторах a={8,4,1} и b={2,-2,1} .

3. Найти площадь S треугольника, построенного на векторах a=i-2j+5k и b=5j-7k .

4. Сила P={2,-4,5} приложена к точке M₀(4,-2,3). Определить момент этой силы относительно точки A(3,2,-1).

5. Вектор m , перпендикулярный оси аппликат и вектору a=8i-15j+3k, образует острый угол с осью абсцисс. Зная, что , найти его координаты.

6. Сила Q={3,4,-2} приложена к точке C(2,-1,-2). Определить величину и направление момента этой силы относительно начала координат.

7. Вектор m, перпендикулярный оси аппликат и вектору , образует острый угол с осью абсцисс. Зная, что , найти его координаты.

8. Найти момент силы относительно начала координат, если точка ее приложения A(1,1,1). Определить также направляющие косинусы момента.