8.4. Поверхности второго порядка заданные каноническими уравнениями

Метод сечений

Будем рассматривать различные поверхности второго порядка, заданные каноническими уравнениями. Чтобы судить о форме этих поверхностей по виду их уравнений, будем использовать так называемый метод сечений.

Сущность метода сечений состоит в том, что рассматриваются линии пересечения данной поверхности с различными плоскостями.

Во многих случаях полезно рассекать поверхность плоскостями параллельными одной из координатных плоскостей, или плоскостями координат.

Зная ряд сечений, получаем представление о самой поверхности.

8.4.1. Эллипсоид

Определение 8.4.1. Эллипсоидом называется поверхность имеющая уравнение:

(8.4.), где a, b, c, - положительные числа.

Исследуем форму эллипсоида, пересекая его: а) координатными плоскостями; б) плоскостями, параллельными координатным плоскостям.

Линия пересечения эллипсоида с плоскостью z = 0 определяется системой уравнений: или

Эта линия - эллипс с полуосями a и b, симметричный относительно плоскостей ху и xz.

_{Сечение эллипсоида} плоскостью у = 0 есть эллипс с полуосями а и с.

Сечение эллипсоида плоскостью х = 0 есть эллипс с полуосями b и c.

Рис.8.8.

Рассмотрим сечение эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости ху. Такие плоскости имеют уравнение z = h, и, следовательно, интересующие нас сечения задаются системой уравнений: , если , то и в сечении получается эллипс с полуосями , . Полученные сечения позволяют построить искомую поверхность (Рис.8.8.) называемую эллипсоидом.

Отрезки a, b, c называются полуосями эллипсоида.

При a = b = c эллипсоид превращается в сферу:

Замечание:

1. Если a, b, c попарно не равны, то эллипсоид называется трёхосным.

1. Если какие-нибудь две полуоси равны, то эллипсоид является поверхностью вращения вокруг третьей оси.

Пример 8.4.1.1. Привести к каноническому виду:

а)

Решение: Выделим полные квадраты:

производим параллельный перенос осей координат в т.O’(1;1;1)

или - эллипсоид (полуоси 3,2 и 1)

Пример 8.4.1.2.

Решение: Выделим полные квадраты:

начало координат в точку (3,0,-2)

- эллипсоид с полуосями (12,6,4) и центром в точке (3;0;-2), оси параллельны осям координат.

8.4.2.Гиперболоиды

Наглядное представление об этих поверхностях можно получить, вращая гиперболу вокруг 1) оси z или 2) оси х соответственно.

В первом случае поверхность имеет уравнение . Она называется однополостным гиперболоидом.

Во втором случае поверхность имеет уравнение . Эта поверхность называется двуполостным гиперболоидом.

В обоих случаях это гиперболоиды вращения.

Названия подсказаны количеством частей (полостей), из которых состоит поверхность.

а) Однополостной гиперболоид.

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, имеющая уравнение (8.5.), где a, b, c - положительные числа.

Для исследования формы гиперболоида (8.5.) рассмотрим сечение его плоскостями.

Сечение плоскостью ху задается системой уравнений:

или и представляет собой эллипс с полуосями a и b.

Сечение плоскостями, параллельными плоскости ху, задается системой уравнений , или (*)

Рис.8.9.

Линия (*) представляет собой эллипс с полуосями , , центр симметрии которого находится в точке (0; 0; h) на оси z; оси эллипса параллельны координатным плоскостям х и у.

Сечение плоскостью xz( т.е. у = 0) есть гипербола, действительная ось которой находится на оси х, а мнимая на оси z. Вершины гиперболы находятся в точках (а; 0; 0) и (-а; 0; 0) на оси х и совпадают с теми вершинами эллипса, которые находятся на оси х.

Сечение плоскостью yz (т.е. х = 0) представляет собой гиперболу, действительная ось которой совпадает с осью у, а мнимая с осью z. Однополостный гиперболоид представляет собой поверхность, не распадающуюся на части. Числа a, b, c называются полуосями гиперболы. (Рис.8.9.)

Отметим, что уравнения , - также однополостные гиперболоиды.

б) Двуполостный гиперболоид.

Поверхность, имеющая уравнение , (8.6.) где a, b, c - положительные числа.

Рассмотрим сечения этой поверхности различными плоскостями.

Сечения, параллельные плоскости yz, задаются системой уравнений ,

При эта система не имеет решений. Следовательно, при -a < h < a плоскость x = h не пересекает гиперболоид.

При из системы следует, что сечение - точкиА (а; 0; 0) и

А` (-а; 0; 0).

При , то и в сечении гиперболоида плоскостями х = h

получаются эллипсы с полуосями , и центрами на оси х.

Сечение плоскостью ху задается системой уравнений и представляет собой гиперболу с действительной осью, лежащей на оси х, и вершинами в точках А (а; 0; 0) и А`(-а; 0; 0).

Сечение плоскостью xz задается системой уравнений и представляет собой гиперболу с действительной осью, лежащей на оси х и вершинами в точках А (а; 0; 0) и А`(-а; 0; 0).

Итак, в сечениях вертикальными плоскостями z=h и y=c при любых значениях h образуются гиперболы, в сечениях горизонтальными плоскостями x=hприобразуются либо точки, либо эллипсы (Рис.8.10.)

Рис.8.10.

Замечание. Можно взять уравнение

Рис.8.11.

Числа a, b, c называются полуосями двуполостного гиперболоида.

Двуполостной гиперболоид состоит из двух отдельных частей.

Отметим, что уравнения и также определяют двуполостные гиперболоиды.

Пример 8.4.2.1. Определить вид поверхности:

Решение: Приведем к каноническому виду:

Однополюсный гиперболоид, вершина в т.O осью вращения служит Ox.

Пример 8.4.2.2. Определить вид поверхности:

Решение: Приведем к каноническому виду:

Двуполюсный гиперболоид, продольная ось равна и совпадает с осью Ox, по оси Oy - , Oz- .