3.3 Вычисление ранга матрицы

Согласно теореме 3.1.4. при определении ранга матрицы можно пользоваться всеми элементарными преобразования . Идея метода та же самая – сведения матрицы к треугольному виду в случае квадратной матрицы и к трапециевидному виду для матриц А_mxn, m№n. Именно для матриц такого типа проще найти не равный нулю минор наивысшего порядка. Для треугольной матрицы ранг равен числу, не равному нулю, элементов диагонали .

Пример 3.3.1: Найти ранг матрицы A.

Решение: Приведем матрицу к трапецевидному виду:

3.4 Решение систем линейных уравнений

При решении систем линейных уравнений разрешается пользоваться всеми элементарными преобразованиями над строками расширенной матрицы (А/в), а также преобразование третьего типа над столбцами матрицы А, поскольку умножение уравнения на число, прибавление к одному уравнению другого уравнения умноженного на число, перестановка уравнений и неизвестных со своими коэффициентами приводят к эквивалентной системе уравнений. Напомним, что расширенная матрица однозначно определяет систему .

Например, матрице A соответствует система:

Поэтому операции над строками соответствуют операциям над уравнениями. Целью элементарных преобразований является приведение расширенной матрицы к трапециевидной форме.

Запишем расширенную матрицу в виде:

последняя строка есть уравнение:

Подставляя это в предыдущее уравнение :

найдем

Подставляя в следующее уравнение x_n и x_n-1, находим x_n-2 и т.д. до x₁ .

Изложенный метод называется методом Гаусса или методом исключения неизвестных переменных. Отметим, что приведение расширенной матрицы к трапециевидной форме позволяет ответить на вопрос о совместимости системы.

Пример 3.4.1. Решить систему уравнений, заданную своей расширенной матрицей:

Решение: Запишем вторую строку матрицы первой так, чтобы в верхнем левом углу были 1 и затем приведем матрицу к треугольному виду.

Ответ: { -1;2;1}

Пример 3.4.2.

rang(A)=2=rang(A/b)

Выберем минор второго порядка отличный от нуля x₂ и x₃ – закрепленные переменные, тогда x₁ и x₄– свободные. x₁=C₁, x₄=C₂

Перейдем к системе:

бесконечное множество решений системы имеет вид:

Пример 3.4.3. Решить систему:

Решение:

Система не имеет решений.

3.5 Нахождение обратной матрицы.

По определению обратной матрицы АА^-1=I. Обозначим А^-1=(b_ij), , , тогда :

рассмотрим , как получается i-ый столбец единичной матрицы , т.е.

(1 на i-м месте)

отсюда ясно, что для определения i-го столбца А^-1нужно решить систему с расширенной матрицей, а для определения всех столбцов n-систем:

Дело облегчится тем что все эти системы имеют одну основную матрицу А, что позволяет записать все системы в виде :

Пример 3.5.1. Найти обратную матрицу для матрицы А:

Решение: Присоединим справа к матрице A единичную матрицу второго порядка, и с помощью элементарных преобразований получим слева единичную матрицу.

Ответ: .

Пример 3.5.2. Найти обратную матрицу для матрицы А:

Решение: Присоединим справа к матрице A единичную матрицу третьего порядка:

Ответ:

Пример 3.5.3. Найти обратную матрицу для матрицы А:

Решение:

обратной матрицы не существует, т.к. определитель матрицы A равен нулю.

Контрольные вопросы и задания.

1. Какая система линейных уравнений называется совместной?

2. При каких условиях система m линейных уравнений с n неизвестными совместна?

3. Как найти частное решение неоднородной системы линейных уравнений?

4. Как найти все множество решений неоднородной системы линейных уравнений?

5. Какая система называется Крамеровской?

6. В чем заключается матричный способ решения систем?

7. Какая система называется однородной?

8. Сколько решений может иметь однородная система уравнений?

9. Какие элементарные преобразования матриц Вам известны?

10. Как вычислить определитель матрицы, ранг матрицы с помощью элементарных преобразований матрицы?

11. Для каких систем применяется метод Гаусса?

12. Изложите метод Гаусса.

Задачи и упражнения для самостоятельной работы.

1. При каком значении c система линейных уравнений совместна:

а) б)

2. Найдите общее решение неоднородной системы линейных уравнений, заданной своей основной матрицей A и столбцом свободных членов B:

а)

б)

в)

г)

3. Исследуйте на совместимость и найдите общее решение системы:

а) б)

4. Исследуйте систему и найдите общее решение в зависимости от значения параметра c:

а) б)

5. Пользуясь методом Гаусса, вычислите решения следующих систем:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

6. Напишите однородную систему линейных уравнений с матрицей:

а) ; б) .

6. Найдите общее решение однородной системы линейных уравнений:

а) б)

6. Укажите все группы неизвестных, которые могут быть свободными неизвестными системы

6. Найдите однородную систему линейных уравнений, состоящую: а) из двух; б) из трех; в) из четырех уравнений, - для которых совокупность столбцов

является ее фундаментальной совокупностью решений.