МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

Российской федерации

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Технологический институт

Федерального государственного образовательного

учреждения высшего профессионального образования

«Южный федеральный университет»

ПРИОРИТЕТНЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ «ОБРАЗОВАНИЕ»

А.А. Афонин, Т.В. Камышникова

Линейное программирование

Часть I

Учебное пособие

Т аганрог 2007

УДК 519.852(075.8)

Рецензенты:

д-р экон. наук, профессор, зав. кафедрой экономики ТТИ ЮФУ Боровская М.А.

канд физ.-мат. наук, доцент кафедры математики и информатики ТИУиЭ Маринова И.В.

Афонин А.А., Камышникова Т.В. Линейное программирование. Учебное пособие. Часть I. – Таганрог: Изд-во Технологического института ЮФУ, 2007. – 64 с.

Учебное пособие написано на основе лекций, прочитанных авторами на протяжении ряда лет студентам специальностей «Государственное и муниципальное управление», «Экономика».

Пособие состоит из двух частей. Первая часть начинается с изучения метода жордановых исключений для решения СЛАУ и систем линейных неравенств, лежащего в основе удобного вычислительного аппарата, используемого в линейном программировании. Далее изучаются модели с двумя переменными и их графические решения. Обобщение графического метода решения приводит к алгебраическому симплекс-методу. Вторая часть посвящена теории двойственности в линейном программировании и транспортной задаче. Кроме теоретического материала по линейному программированию, соответствующего образовательным стандартам этих специальностей, учебное пособие содержит ряд содержательных примеров, задач и математических моделей, относящихся к экономике. В конце каждой главы приведены задачи для решения с ответами.

Библиогр.: 12 назв.

©Технологический институт ЮФУ, 2007

© Афонин А.А., Камышникова Т.В., 2007

Введение

Данное учебное пособие написано как расширенный конспект лекций, прочитанных авторами на протяжении ряда лет студентам экономических специальностей. Это предопределило структуру учебного пособия, в котором разобрано достаточно большое количество примеров, а также варианты контрольных заданий с ответами, которые предлагается использовать для контроля практических знаний.

Линейное программирование (ЛП) – это метод оптимизации моделей, в которых целевые функции и ограничения строго линейны. ЛП успешно применяется в экономике, транспортной отрасли, индустрии, сельском хозяйстве и даже в социальных науках. ЛП ориентировано на решение практических задач, которые можно описать с помощью математических моделей. Методы ЛП используют как основной алгоритмический блок процедуру Гаусса-Жордана – преобразования (решения) систем линейных алгебраических уравнений и неравенств.

Рассмотренный в разд. 2 графический способ применим к весьма узкому классу задач ЛП: эффективно им можно решать задачи, содержащие не более двух переменных. Графический способ решения задач ЛП показывает, что оптимальное решение этой задачи всегда ассоциируется с угловой точкой пространства решений. Это является ключевой идеей при разработке общего алгебраического симплекс-метода для решения любой задачи ЛП. Симплекс-метод рассмотрен в разд. 3.

Основное свойство симплекс-метода заключается в том, что решение задачи ЛП осуществляется итерационно. На каждой итерации алгоритм переходит к новой угловой точке, которая потенциально может улучшить значение целевой функции. Этот процесс перехода от одной угловой точки к следующей заканчивается, когда дальнейшее улучшение значений целевой функции невозможно.

Большинство задач, рассматриваемых в книге, имеют экономическую интерпретацию и наряду с иллюстрацией изучаемого математического аппарата имеют целью ознакомить студентов с некоторыми типичными постановками задач ЛП в экономике.