1. Жордановы исключения

1.1Понятие жорданова исключения

Рассмотрим алгебраическое преобразование, лежащее в основе удобного вычислительного аппарата, используемого в линейном программировании.

Пусть имеем систему m линейных функций от n неизвестных:

(1.1)

или в краткой форме:

(1.2)

Представим систему функций (1.1) в виде табл. 1.1:

Таблица 1.1

		···		···		···
		···		···		···
···	···	···	···	···	···	···	···
		···		···		···
···	···	···	···	···	···	···	···
		···		···		···
···	···	···	···	···	···	···	···
		···		···		···

Табл. 1.1 в дальнейшем будем называть жордановой.

Возьмём в системе (1.1) функцию с номером k, т.е. (соответствующую k-й строке табл. Жордана) с коэффициентом , который впредь будем называть разрешающим элементом. Выполним преобразование, в результате которого и поменяются ролями, т.е. станет независимой переменной, а – зависимой. Для этого сначала уравнение

(1.3)

разрешим относительно : .

Затем подставим это выражение во все остальные уравнения системы (1.1), и после приведения подобных членов запишем результат в виде новой жордановой таблицы. Описанную операцию будем называть шагом обыкновенного жорданова исключения, произведённым в табл. 1.1 с разрешающим элементом , с k-й разрешающей строкой и s-м разрешающим столбцом. В результате преобразования Жордана система линейных функций (1.1) запишется в следующем виде:

, (1.4)

где . (1.5)

Преобразованная таблица запишется в виде новой жордановой таблицы (табл. 1.2).

Таблица 1.2

		···		···
		···	a1s/aks	···
···	···	···	···	···	···
	-ak1/aks	···	1/aks	···	-akn/aks
···	···	···	···	···	···
		···	ams/aks	···

Нетрудно заметить (из формул (1.4) и (1.5)), что шаг обыкновенного жорданова исключения сводится к схеме, состоящей из следующих четырёх правил:

1. разрешающий элемент заменяется обратной величиной;

2. остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент и меняют знаки;

3. остальные элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент;

4. остальные элементы табл. 1.2 вычисляются по формуле (1.5).

На практике при вычислении элементов по формуле (1.5) удобно пользоваться правилом прямоугольника, заключающимся в следующем: выделяется фрагмент таблицы, содержащий элементы, входящие в формулу (1.5); они расположены в вершинах выбранного прямоугольника:

···	···	···	···	···
···		···		···
···	···	···	···	···
···		···		···
···	···	···	···	···

Диагональ этого прямоугольника, на которой расположены разрешающий и преобразуемый элементы, назовём главной, а другую диагональ – побочной. Тогда правило (1.5) сводится к следующему: преобразованный элемент равен разности произведений элементов, расположенных на главной и побочной диагоналях, делённой на разрешающий элемент.

Из анализа формулы (1.5) видно, что если в разрешающей строке некоторый элемент , то , т.е. элементы столбца, в котором расположен нулевой элемент разрешающей строки, остаются после шага жорданова исключения без изменения; аналогично, если в разрешающем столбце есть нулевой элемент ( ), то соответствующая ему строка остаётся на данном шаге неизменной, т.к. .

Задача 1.1. Преобразовать систему линейных функций

так, чтобы переменная стала зависимой, а – независимой.

Решение. Запишем систему в форме жордановой таблицы, приняв 6 в качестве разрешающего элемента:

Таблица 1.3 Таблица 1.4

	-2	5	1
	1	-2

Разрешающими являются вторая строка и третий столбец. Преобразуя табл. 1.3 по правилу, указанному выше, имеем табл. 1.4.

Возвращаясь к обычной записи, имеем

Вместо обыкновенного жорданова исключения чаще пользуются так называемыми модифицированными жордановыми исключениями, при которых жорданова таблица имеет вид табл. 1.5, отличающейся от табл. 1.1 тем, что переменные в заглавной строке и коэффициенты записаны со знаком “минус”:

Таблица 1.5

		···
		···
···	···	···	···
		···

Перевод табл. 1.5 в новую осуществляется по тем же правилам 1) – 4) с изменёнными правилами 2) – 3), а именно:

2. остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент;

3. остальные элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент и меняют знак.

Имеет место следующий результат.

Теорема 1.1. Если в жордановой таблице при все строки линейно независимы, то в результате m последовательных шагов жордановых исключений все можно “перебросить” в верхнюю часть таблицы.