1.3. Базисные решения слау. Опорные решения (планы)

Рассмотрим СЛАУ (1.6). Введём в рассмотрение m-мерные векторы-столбцы, координаты которых равны коэффициентам при неизвестных и свободным членам системы (1.6):

, , .

Тогда СЛАУ (1.6) можно записать с помощью этих векторов в виде:

_. (1.8)

Из равенства (1.8) можно заключить, что решение системы (1.6) сводится к нахождению коэффициентов разложения вектора по векторам . Все эти коэффициенты находятся методом жордановых исключений.

В результате ряда жордановых исключений расширенная матрица СЛАУ принимает следующий вид:

т.е. векторы преобразовались в единичные. Отсюда следует, что векторы являются линейно независимыми и составляют базис системы векторов .

Систему r уравнений, в которой столбцы коэффициентов при r неизвестных являются единичными векторами, называют СЛАУ, приведённой к единичному базису или приведённой к разрешённому виду. Переменные , соответствующие векторам называют базисными, а весь набор базисных переменных называют базисом системы переменных . Переменные , соответствующие векторам , называют свободными.

Если в общем решении системы (1.6) свободным переменным придать нулевые решения, то полученное частное решение

(в векторной записи ( )) называют базисным. Чтобы найти все базисные решения, нужно преобразовать систему, последовательно переходя от одного единичного базиса к другому с помощью жордановых исключений. В принципе, из данной системы n векторов максимально возможным числом базисов является . Каждому такому базису соответствует базис системы переменных и соответствующее базисное решение.

Задача 1.3. Найти все базисные решения СЛАУ:

Решение: Представив СЛАУ в виде таблицы и сделав два шага жордановых исключений, придём к табл. 1.11, откуда получим базисное решение: (1, 2, 0, 0).

Таблица 1.11 Таблица 1.12

	1
	-5	-5/2
	-3	-2	1

	1
	2		-3/5
	1	-4/5	-1/5

	1
	1/3

	1
	-5	-5
	-1	-3	2

Таблица 1.13 Таблица 1.14

	1
	-1/2	-3/2	1/2
	-3	1	-2

Таблица 1.15 Таблица 1.16

	1
	-5/4	-5/4	1/4
	3/2	-1/2

В табл. 1.11 содержится две строки, следовательно ранг r данной системы равен 2, n=4, поэтому система может иметь не более базисных решений.

Другими базисами могут быть .

Преобразуя табл. 1.11 рядом жордановых исключений, приходим последовательно к табл. 1.12, 1.13, 1.14, 1.15, 1.16, откуда находим остальные базисные решения: (-3, 0, -5, 0), ( , 0, 0, ), (0, -1, 0, -5), (0, , , 0), (0, 0, , -3).

В экономических и управленческих задачах отрицательные значения переменных, как правило, не имеют реального смысла. Поэтому представляет интерес неотрицательные решения СЛАУ, т.е. решения, среди компонентов которых нет отрицательных чисел. Неотрицательные базисные решения играют особую роль в математическом программировании и называются опорными решениями (планами).

Покажем, как с помощью жордановых исключений найти опорные планы. Пусть СЛАУ представлена в виде жордановой таблицы, где все элементы столбца свободных членов неотрицательны.

Таблица 1.17

	1		···
0=			···
···	···	···	···	···
0=			···

Выясним, как сохранить неотрицательность свободных членов в процессе жордановых исключений. Пусть первый шаг жордановых исключений производится с разрешающим элементом .

Таблица 1.18

	1	···		···
···	···	···	···	···
0=		···		···
···	···	···	···	···
0=		···		···
···	···	···	···	···

Тогда после жорданова исключения свободный член в разрешающей строке , если разрешающий элемент . Это первое требование к разрешающему элементу.

После шага жорданова исключения свободный член произвольный i-й строки равен

Последнее выражение будет неотрицательным, если . Это неравенство всегда будет выполняться при любом ; если же должно выполняться неравенство

Это второе требование к разрешающему элементу.

Иными словами, отношение свободного члена разрешающей строки к разрешающему элементу должно удовлетворять условию минимальности, т.е. оно должно быть наименьшим из всех отношений свободных членов к соответствующим положительным элементам разрешающего столбца.

Таким образом, имеем следующее правило для нахождения опорного плана СЛАУ. Вначале СЛАУ представляется в виде жордановой таблицы так, чтобы все свободные члены были неотрицательными. Затем производится возможное число жордановых исключений, выбирая разрешающий элемент среди положительных чисел основной части таблицы по наименьшему отношению свободных членов к соответствующим положительным элементам разрешающего столбца. Искомое опорное решение (план) найдётся приравниванием верхних (свободных) переменных нулю, а базисных (боковых) – свободным членам. Если в ходе жордановых исключений встретится 0-строка, в которой все элементы не положительны, а свободный член неотрицателен, то данная система не имеет неотрицательных (в частности, опорных) решений, хотя и является совместной.

Задание 1.4. Найти все опорные решения (планы) системы линейных алгебраических уравнений

Решение. Представим СЛАУ в виде жордановой таблицы со свободными неотрицательными членами

Таблица 1.19

	1
0=	16		1	1	3
0=	8	-1	1	3	-1

После двух шагов жордановых исключений получим соответствующие табл.1.20 и табл.1.21

	1
	10
	6

Таблица 1.20 Таблица 1.21

	1
	16	1	1	3
0=	24	2		2

Из таблицы 1.21 получаем первое опорное решение (план) (10, 0, 6, 0). Производя следующие шаги жордановых исключений, получим следующие жордановы таблицы: из которых получены следующие опорные планы: (4, 12, 0, 0), (0, 10, 0, 2), (0, 0, 4, 4).

Таблица 1.22 Таблица 1.23

	1
	2
	10

	1
	4	-1
	12	2	1

Таблица 1.24

	1
	4
	4

Нетрудно убедиться в том, что нет других опорных планов для данной СЛАУ.