- •Основы линейной, векторной алгебры и аналитической геометрии
- •Содержание.
- •Обозначения, используемые в пособии.
- •1.3.Транспонирование матриц
- •Операция транспонирования обладают следующими свойствами:
- •1.4. Понятие определителя.
- •1.5. Минор. Теорема Лапласа. Определение 1.5.1.
- •Свойства определителей
- •1.7 Обратные матрицы
- •Достаточность: Пусть Рассмотрим элементы с определяются как
- •4)Обратная матрица единственна
- •1.8 Ранг матрицы Определение 1.8.1.
- •Определение 1.8.2.
- •2. Системы линейных алгебраических уравнений
- •2.1. Основные понятия
- •2.2 Крамеровские системы
- •Пример 2.2.2. Решить по формулам Крамера систему уравнений:
- •2.3 Системы линейных уравнений общего вида
- •2.4 Однородные системы линейных уравнений
- •Пример 2.4.1 Решить систему:
- •3. Основы численных методов решения задач теории матриц и систем линейных алгебраических уравнений .
- •3.1 Элементарные преобразования матриц
- •Действительно:
- •3.2 Вычисление определителя
- •3.3 Вычисление ранга матрицы
- •3.4 Решение систем линейных уравнений
- •3.5 Нахождение обратной матрицы.
- •4. Линейные векторные пространства
- •4.1 Понятие линейного пространства
- •4.2 Линейная зависимость системы векторов
- •4.3. Базис и размерность линейного пространства.
- •4.4. Координаты вектора
- •Пример 4.4.1.
- •4.5. Евклидово пространство
- •4.6. Ортогональность векторов в Еп.
- •5. Вектора в трёхмерном пространстве .
- •5.1. Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось.
- •5.2. Координаты вектора заданного двумя точками.
- •5.3.Условие коллинеарности двух векторов в координатной форме
- •5.4. Скалярное произведение векторов в координатной форме
- •5.5. Определение длины вектора и угла между двумя векторами.
- •5.6. Направляющие косинусы вектора
- •5.7. Векторное произведение двух векторов
- •5. 8. Смешанное произведение трех векторов
- •5.9. Свойства смешанного произведения
- •Элементы аналитической геометрии.
- •6.1. Прямая на плоскости.
- •Уравнение прямой в отрезках
- •6.2.3. Уравнение плоскости в отрезках
- •6.2.4. Уравнение плоскости проходящей через три точки
- •6.2.5.Угол между двумя плоскостями
- •6.2.6. Условия перпендикулярности и параллельности плоскостей
- •6.2.7. Расстояние от точки до плоскости
- •6.3. Прямая линия в пространстве r3
- •6.3.1. Векторное уравнение прямой
- •6.3.2. Канонические уравнения прямой
- •6.3.3. Прямая как линия пересечения двух плоскостей
- •6.3.4. Угол между двумя прямыми
- •6.3.5. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •6.4. Прямая и плоскость в пространстве
- •6.4.1. Пересечение прямой и плоскости в пространстве r3
- •6.4.2.Условие параллельности и перпендикулярности прямой и
- •6.4.3.Угол между прямой и плоскостью
- •7. Кривые второго порядка
- •7.1.Окружность
- •7.2. Эллипс
- •7.3.Гипербола
- •7.4.Парабола
- •7.5. Уравнения кривых второго порядка с осями симметрии параллельными осям координат.
- •8. Поверхности второго порядка
- •8.1.Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатной оси
- •8.2.Цилиндры второго порядка
- •8.3.Поверхности вращения
- •8.4. Поверхности второго порядка заданные каноническими уравнениями
- •8.4.1. Эллипсоид
- •8.4.2.Гиперболоиды
- •8.4.3. Параболоиды Эллиптический параболоид.
- •Гиперболический параболоид.
- •8.4.4. Конус второго порядка
- •9. Расчетные задания.
- •9.1. Линейная и векторная алгебра.
- •9.2. Аналитическая геометрия.
- •10. Тестовые задания для самостоятельной работы.
- •Задание 3. Найдите матрицу х из уравнений:
- •Задание 4. С помощью формул Крамера решить систему уравнений:
- •Задание 9. Найти координаты вектора векторного произведения векторов a и b.
- •2. Найти точку пересечения прямой и плоскости.
Н.С. Шулаев, Т.В. Григорьева,
Г.М. Мифтахова
Основы линейной, векторной алгебры и аналитической геометрии
Учебное пособие
2011
УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Н.С. Шулаев, Т.В. Григорьева,
Г.М. Мифтахова
ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ, ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Учебное пособие
Стерлитамак 2011
УДК 516;512,942
ББК 74.58
Ш95
Утверждено Редакционно-издательским советом УГНТУ в качестве учебного пособия
Рецензенты:
Кафедра алгебры и геометрии СГПА им. Зайнаб Биишевой (зав. кафедрой, профессор, доктор физ-мат. наук П.Н. Михайлов )
Зав. кафедры АТИС СФ УГНТУ, доктор технических наук, профессор А.И. Каяшев
Н.С. Шулаев, Т.В. Григорьева, Г.М. Мифтахова
Ш95.Основы линейной, векторной алгебры и аналитической геометрии: Учеб. пособие. – Уфа: Изд-во УГНТУ, 2011 - 161с.
ISBN
Пособие включает в себя основные теоретические положения и методические указания, необходимые для решения типовых задач, предусмотренных программой курса “Высшая математика” по направлению подготовки 241000 «Энерго- и ресурсосберегающие процессы в химической технологии, нефтехимии и биотехнологии» (квалификация «бакалавр»). Задачи, упражнения, тестовые задания для самостоятельного решения подобраны с учетом специфики подготовки технических кадров, обращено внимание на часто встречающиеся ошибки.
Книга предназначена для студентов высших технических заведений, колледжей и может быть полезна также преподавателям, ведущим практические занятия.
УДК 516; 512, 942
ББК
ISBN Уфимский государственный нефтяной
технический университет, 2011
© Н.С. Шулаев, Т.В. Григорьева,
Г.М. Мифтахова, 2011
Содержание.
|
Предисловие. Обозначения, используемые в пособии. 1. Теория матриц. 1.1.Матрицы и их виды. 1.2.Действия над матрицами. 1.3.Транспонирование матриц 1.4. Понятие определителя. 1.5. Минор. Теорема Лапласа. 1.6.Свойства определителей 1.7 Обратные матрицы 1.8 Ранг матрицы 2. Системы линейных алгебраических уравнений 2.1. Основные понятия 2.2 Крамеровские системы 2.3 Системы линейных уравнений общего вида 2.4 Однородные системы линейных уравнений 3. Основы численных методов решения задач теории матриц и систем линейных алгебраических уравнений . 3.1 Элементарные преобразования матриц 3.2 Вычисление определителя 3.3 Вычисление ранга матрицы 3.4 Решение систем линейных уравнений 3.5 Нахождение обратной матрицы. 4. Линейные векторные пространства 4.1 Понятие линейного пространства 4.2 Линейная зависимость системы векторов 4.3. Базис и размерность линейного пространства . 4.4. Координаты вектора 4.5. Евклидово пространство 4.6. Ортогональность векторов в Еп. 5. Вектора в трёхмерном пространстве . 5.1. Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось . 5.2. Координаты вектора заданного двумя точками . 5.3. Условие коллинеарности двух векторов в координатной форме 5.4. Скалярное произведение векторов в координатной форме 5.5. Определение длины вектора и угла между двумя векторами . 5.6. Направляющие косинусы вектора 5.7. Векторное произведение двух векторов 5. 8. Смешанное произведение трех векторов 5.9. Свойства смешанного произведения
6.1. Прямая на плоскости 6.2. Плоскость в пространстве R3 6.2.1. Уравнение плоскости в нормальном виде. 6.2.2. Векторные уравнения плоскости 6.2.3. Уравнение плоскости в отрезках 6.2.4. Уравнение плоскости проходящей через три точки 6.2.5.Угол между двумя плоскостями 6.2.6.Условия перпендикулярности и параллельности плоскостей 6.2.7. Расстояние от точки до плоскости 6.3. Прямая линия в пространстве R3 6.3.1. Векторное уравнение прямой 6.3.2. Канонические уравнения прямой 6.3.3. Прямая как линия пересечения двух плоскостей 6.3.4. Угол между двумя прямыми 6.3.5. Условия параллельности и перпендикулярности прямых 6.4. Прямая и плоскость в пространстве 6.4.1. Пересечение прямой и плоскости в пространстве R3 6.4.2.Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости 6.4.3.Угол между прямой и плоскостью 7. Кривые второго порядка 7.1.Окружность 7.2. Эллипс 7.3.Гипербола 7.4.Парабола 7.5. Уравнения кривых второго порядка с осями симметрии параллельными осям координат. 8. Поверхности второго порядка 8.1.Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатной оси 8.2.Цилиндры второго порядка 8.3.Поверхности вращения 8.4. Поверхности второго порядка заданные каноническими уравнениями 8.4.1. Эллипсоид 8.4.2.Гиперболоиды 8.4.3. Параболоиды 8.4.4. Конус второго порядка 9. Расчетные задания 9.1. Линейная и векторная алгебра 9.2. Аналитическая геометрия 10. Тестовые задания для самостоятельной работы Библиографический список. |
6 7 8 8 9 11 14 16 18 22 24 28 28 29 32 35
36 36 38 40 41 43 49 49 51 54 55 57 58 62 62 63
64 64
65 67 69 73 74 77 77 82 82 83 84 85 86
86 87 88 88 89 90 91
91 93 93
94 95 97 97 98 100 102
103 106
106 108 109
111 111 113 117 120 123 123 134 148 161 |
Предисловие
В последние годы существенно возросла роль линейной и векторной алгебры в математической подготовке студентов экономических вузов. Принципиально обновляется язык вузовской математики, происходит сближение его с языком, принятым в современной науке.
Настоящее учебное пособие предназначено для студентов технических вузов, при определении содержания за основу были приняты новые программы по высшей математике для специальностей экономического профиля. Пособие может быть использовано аспирантами инженерно-технических специальностей вузов, а также студентами нематематических факультетов университетов.
Пособие содержит ряд методических новшеств, которые нашли отражение в структуре. В нем соединено воедино изложение теоретического материала, демонстрация решения типовых задач и задания для самостоятельной учебной деятельности студентов. Таким образом пособие может быть использовано и в качестве задачника.
В начале каждого параграфа излагаются теоретические вопросы, затем приводятся решения задач по изложенному материалу и наконец - контрольные вопросы, упражнения и задачи для самостоятельного решения. Нумерация формул и рисунков сквозная для каждой главы, нумерация примеров и задач для каждого параграфа.
Пособие написано на основе многолетнего опыта чтения аналогичного курса лекций и ведения практических занятий в Стерлитамакском филиале БГУ.