7.4.Парабола

Определение 7.4.1. Параболой называется множество точек плоскости равноудаленных от данной точки называемой фокусом и данной прямой называемой директрисой.

Рис.7.4.

Пусть Р — расстояние (большее нуля) от фокуса F до директрисы l. Ось 0x выберем так чтобы она проходила через F перпендикулярно l. Начало координат поместим в середине отрезка , где B точка пересечения оси 0x и директрисы l. В выбранной системе координат уравнение директрисы . Расстояние P называется параметром параболы.

Согласно определению

или

освободимся от иррациональности:

(7.4.)

• каноническое уравнение параболы.

Ось, на которой расположен фокус, называется фокальной осью.

Уравнение параболы, симметричной относительно оси Oy и проходящей через начало координат имеет вид: , где - ее директриса.

Эксцентриситет параболы: .

Уравнение касательной проходит через точку (x₀,y₀): .

Пример 7.4.1. Составить уравнение параболы, проходящей через точки пересечения прямой с окружностью и симметричной относительно оси 0x.

Решение: Найдем точки пересечения прямой с окружностью

, ЫЫ

_{Найдем значение p:}

Ответ. .

7.5. Уравнения кривых второго порядка с осями симметрии параллельными осям координат.

Пусть на плоскости введены две прямоугольные декартовы системы координат XOY и с центрами в точках O и и соответственно параллельными осями координат (Рис.7.5.) . Пусть точка , произвольная точка M имеет координаты (x;y) и в соответствующих системах XOY и .

_{По правилу сложения векторов:}

Ю

_Рис.7.5.

_{Если центр эллипса и гиперболы поместить в точку}

_{то их уравнения примут вид:}

Вершину параболы поместим в точку _{, тогда уравнение параболы имеет вид:} .

Пример 7.5.1.Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.

Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояния от начала координат к расстоянию до прямой равно 0,6.

Решение: Возьмем произвольную точку линии M(x,y). Построим прямую . т. N(-16/3;y), т.O(0;0)

По условию задачи или упростим:

разделим на (16/25)

получили уравнение эллипса с центром в т.(3;0) и полуосями: a=5,b=4.

Ответ. .

y

N M(x,y)

x

-16/3 O

Рис.7.6.

Контрольные вопросы и задания.

1. Что называется окружностью?

2. Напишите канонические уравнения эллипса с полуосями a=2,b=5.

3. Что характеризует эксцентриситет?

4. Запишите уравнения директрис эллипса.

5. Что называется гиперболой?

6. Запишите уравнения асимптот гиперболы.

7. Что называется параболой?

8. Составьте уравнение параболы, приняв ее ось за полярную ось и вершину за полюс.

9. Доказать оптическое свойство параболы: луч света, исходящий из фокуса параболы, отразившись от параболы, идет по прямой, параллельной оси этой параболы.

10. Доказать оптическое свойство гиперболы: луч света, исходящий из одного фокуса гиперболы, отразившись от нее, идет по прямой, соединяющей точку отражения с другим фокусом.

Задачи для самостоятельной работы.

1. Написать уравнение окружности с центром в точке (-4,7) и радиусом, равным 7.

2. Показать, что есть уравнение окружности. Найти ее центр и радиус.

3. Найти координаты центра и радиус окружности

4. Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: (0,1); (2,-0); (3,-1).

5. Составьте простейшее уравнение эллипса, зная, что: а) полуоси его a=6, b=4; б) расстояние между фокусами 2c=10, а большая ось 2a=16; в) малая полуось b=4, и расстояние между фокусами 2c=10; г) большая полуось a=12, а эксцентриситет e=0,6; е) сумма полуосей a+b=12, а расстояние между фокусами .

6. Составить простейшее уравнение гиперболы, если расстояние между вершинами ее равно 20, а расстояние между фокусами 30.

7. Найти уравнение асимптот гиперболы .

8. Уравнения асимптот гиперболы и , а рпасстояние между фокусами 2c=10. Найти уравнение гиперболы.

9. Парабола проходит через точку A(2,4). Определить ее параметр p.

10. Составить уравнение параболы, зная, что вершина ее находится в начале координат и расстояние от фокуса до вершины равно 4 единицам длины, а осью симметрии служит ось Ox.

11. Парабола симметрична относительно оси Ox , проходит через точку A(4,-1), а вершина ее лежит в начале координат. Составить ее уравнение.