1.4. Понятие определителя.

Возьмем первые k принадлежащих множеству натуральных чисел (N).

1,2,…,k.

Эти числа могут быть выписаны в произвольном порядке.

Определение 1.4.1. Последовательность первых n-натуральных чисел, выписанных в некотором порядке называется перестановкой из первых n-натуральных чисел.

Пример1.4.1.: 5,2,1,4,3-перестановка из первых 5 натуральных чисел.

Определение 1.4.2. В перестановке ,…, два числа  и  образуют инверсию (σ), если большее из этих чисел стоит раньше, т.е. если > при i<j.

Например: 2,1,5,4,3.

=4, так как 2>1, 5>4, 5>3, 4>3.

Определение 1.4.3. Определителем (детерминантом) квадратной матрицы А называется сумма всевозможных произведений элементов этой матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, и снабженных знаком (-1), где - число инверсий из номеров столбцов, при условии, что номера строк образуют натуральную перестановку, т.е.

Det A==(-1)

где принадлежит . при ij.

Пользуясь определением найдем =

В этом случае перестановками являются 1,2=>σ=0; 2,1=>σ=1.

Поэтому =(-1)аа+(-1)аа=аа-аа,

т.е. определитель равен произведению элементов на главной диагонали минус произведение элементов его побочной диагонали.

Если:

A=A=, то возможны перестановки:

1,2,3=>σ=0

1,3,2=>σ=1

2,1,3=>σ=1

2,3,1=>σ=2

3,2,1=>σ=3

3,1,2=>σ=2; поэтому, согласно определению имеем:

=(-1)aaa+ (-1)aaa+ (-1)aaa+

+(-1)aaa + (-1)aaa++(-1)aaa = aaa + +aaa+aaa-aaa-aaa-aaa, т.e.

получим известное правило Саррюса:

Пример: Допишем справа два первых столбца:

=132 + 242 +3(-1)5 - 233 - 541 – 2(-1)2 = = -27

Однако пользоваться этим определением при больших n невозможно, т.к. число всех возможных перестановок из n принадлежащих N есть n!=123…(n-1) n. Более эффективен метод вычисления определителя с использованием теоремы Лапласа.

1.5. Минор. Теорема Лапласа. Определение 1.5.1.

Минором M_ij соответствующим элементу a_ij определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка получающийся из исходного вычеркиванием i-й строки и j-го столбца

Определение 1.5.2.

Минор взятый со знаком называется алгебраическим дополнением элемента aij исходного определителя:

A_ij=(-1)^(i+j)M_ij

Определение 1.5.3.

Выберем произвольно k строк и k столбцов матрицы A_n*n ,тогда на пересечение этих строк и столбцов стоят элементы которые сами образуют квадратную матрицу порядка k. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка и обозначается M_k.

Определение 1.5.4.

Дана матрица A_nxn и минор M ,вычеркнем те строки и столбцы в которых расположен заданный минор ,тогда оставшиеся элементы образуют квадратную матрицу (n-k)-го порядка. Определитель этой матрицы называется дополнительным минором к минору Mk и обозначается M^d

Определение 1.5.5.

Дополнительный минор снабженный знаком (-1)^s, где алгебраическим дополнением к заданному минору и обозначается

Пример 1.5.1. Дана матрица A:

Алгебраическим дополнением для элемента дополнительный к нему минор:

Теорема Лапласа 1.5.1.

Пусть дана матрица А_nxn и выбрано натуральное К; 1< К <n-1 выберем произвольно К строк (К столбцов). Тогда определительЅАЅ есть сумма произведений всевозможных миноров, расположенных в выбранных строках (столбцах), на свои алгебраические дополнения.

Выясним содержание теоремы на примерах :

Пусть к=2 выберем 1-ю и 3-ю строки

Из этих строк можно выделить миноры:

Дополнительными минорами являются элементы а₂₃ а₂₂ а₂₁

получим то же самое правило для вычисления определителя третьего порядка.

Пример 1.5.2.

Следствием из теоремы являются формулы разложения определителя по строке:

и по столбцу:

Пример 1.5.3.