8. Поверхности второго порядка
Поверхностью второго порядка называется множество точек пространства, которое в декартовой системе координат задается уравнением второй степени.
8.1.Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатной оси
Определение 8.1.1. Цилиндрической поверхностью называется множество параллельных прямых, пересекающих данную линию.
Эта линия называется направляющей, а параллельные прямые - образующими цилиндрической поверхности.
Будем рассматривать в дальнейшем только такие цилиндрические поверхности, направляющие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а образующие параллельны координатной оси, перпендикулярной этой области.
Рассмотрим цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz, и направляющей l, лежащей в плоскости Oxy.
Направляющая l задается, очевидно, на плоскости уравнением: F(x,y) = 0, в пространстве системой уравнений:
(8.1.)
(Уравнение (8.1.) задают эту линию как пересечение цилиндрической поверхности и координатной плоскости XOY).
Докажем теперь, что цилиндрическая поверхность имеет уравнение F(x,y) = 0 (8.2.)
Д-но, пусть M(x,y,z) - произвольная точка поверхности, тогда проекция точки М на плоскость XOY - точка М` - имеет координаты (x,y,0) и лежит на направляющей l. Поэтому координаты т. М удовлетворяют уравнению (2) (т.к. оно не содержит z).
Далее, если
N(x`,y`,0)
S
(поверхности), то её проекция на плоскость
- точка N`(x`,y`,0) - не принадлежит l и,
следовательно F(x,y)
0.
Следовательно, уравнение F(x,y) = 0, не содержащее z, определяет в пространстве цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz и направляющей, которая в плоскости Oxy имеет то же самое уравнение F(x,y) = 0.
Рис.8.1.
Аналогично устанавливается, что цилиндрические поверхности с образующими, параллельными оси Ox или Oy, задаются соответственно уравнениями F(y,z) = 0 или F(x,z) = 0.
8.2.Цилиндры второго порядка
Цилиндром второго порядка называется цилиндрическая поверхность, направляющей которой является эллипс (окружность), гипербола или парабола (т.е. кривые второго порядка).
К цилиндрам второго порядка относятся эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр и параболический цилиндр.
Уравнение
определяет в плоскости Oxy эллипс, а в
пространстве - определяет цилиндрическую
поверхность с образующими, параллельными
оси Oz и пересекающуюся с плоскостью Oxy
по этому эллипсу. Такая поверхность
называется эллиптическим цилиндром.
(Рис.8.2.). Заметим, что название цилиндрической
поверхности определяется названием
направляющей. Уравнение
в
пространстве трех переменных определяет
круговой цилиндр с образующими,
параллельными оси OZ.
Рис.8.2.
Гиперболический
цилиндр - определяется уравнением:
(Рис.8.3.)
Рис.8.3.
Параболический цилиндр - определяется уравнениями:
или
Рис.8.4. Рис.8.5.
8.3.Поверхности вращения
Поверхностью вращения называется множество точек,которое образуется при вращении некоторой плоской линии l вокруг оси.
Линия l называется меридианом поверхности вращения, а ось - её осью вращения. Отметим, что при вращении меридиана вокруг оси каждая его точка описывает окружность.
Рассмотрим
поверхность, полученную вращением линии
l вокруг оси Oz. Пусть линия l
расположена в плоскости OYZ и задана
уравнениями:
Уравнение вращающейся линии надо преобразовать так, чтобы оно стало уравнением поверхности вращения.
Пусть М(x; y; z) - произвольная точка поверхности. Через точку М проведем плоскость, перпендикулярную оси Oz; эта плоскость пересечет поверхность по окружности с центром в точке О` на оси Oz: O`(0; 0; z). Обозначим буквой N точку пересечения указанной окружности и линии l. Точка N имеет координаты (0; Y; Z). (Рис.8.6.)
Поскольку
длины отрезков (O`N) и (O`M) равны между
собой (как радиусы одной и той же
окружности), т.е.
и
то
.
Рис.8.6.
Т.к. точка
,
то
отсюда
(8.3.)
Итак, координаты произвольной точки M(x; y; z), принадлежащей поверхности вращения, удовлетворяют уравнению (8.3.).
Уравнение (8.3.) и является уравнением поверхности вращения(поверхность полученная вращением линии l, лежащей в плоскости Ozy, вокруг оси Oz).
Замечание: Уравнение (8.3.) поверхности
вращения получается из уравнения линии
l в результате следующих формальных
действий: заменяют «y» на «
».
Аналогично,
если ту же линию l вращать вокруг
оси Oy, то полученная поверхность
вращения будет иметь уравнение
.
Если линия l
лежит в плоскости Oxy и задана
уравнениями
то уравнения поверхностей, полученных
от вращения l вокруг осей x или
y, имеют соответственно вид:
или
.
Пример 8.3.1.
Составить уравнение поверхности,
образованной вращением гиперболы
вокруг оси Ох.
Решение:
Пример 8.3.2. Окружность радиуса r вращается около прямой l, лежащей в той же плоскости, что и окружность, и отстоящей от центра С последней на расстоянии R. Составить уравнение поверхности вращения, при условии, что R > r.
Рис.8.7.
Решение: Примем
плоскость окружности за плоскость ху,
ось вращения - за ось у.
С(R,0).
Уравнение
окружности:
Уравнение
поверхности вращения:
или
,
- поверхность 4-го порядка.
Замечание. Если R > r, то эта поверхность называется шаром.