1.7 Обратные матрицы

Определение 1.7.1.

Матрица А^-1_nxn называется обратной к матрице А_nxn , если А^-1А = АА^-1 =I

Где I единичная матрица порядка n

Обратная матрица существует только для квадратных матриц . Однако не каждая квадратная матрица имеет обратную . Матрица для которой существует обратная называется обратимой . Найдем условия обратимости.

Определение 1.7.2.

Матрица А_nxn называется вырожденной , если ее определитель равен нулю и невырожденной, если определитель не равен нулю.

Определение 1.7.3.

Матрица вида

где A_ij алгебраические дополнения элемента а_ij матрицы А, называется присоединенной или союзной матрицей к матрице A .

Сформулируем критерии обратимости матрицы :

Теорема 1.7.1. Матрица А_nxn обратима тогда и только тогда когда она не вырождена т.е. А^-1$Ы¦А¦№ 0

Доказательство:

Необходимость то по определению(по теореме 1.6.2.)

Достаточность: Пусть Рассмотрим элементы с определяются как

Пусть

Получили способ нахождения обратимой матрицы , который используется только для матриц небольшого порядка.

Свойства обратных матриц:

1) (А^-1) ^-1=А

2) (АВ)^-1=В^-1А^-1

3) I^-1=I

4)Обратная матрица единственна

Доказательство:

Пусть обратные матрицы для матрицы A

Контрольные вопросы и задания.

1. Какая матрица называется обратной по отношению к матрице A?

2. Какая матрица имеет обратную?

3. Как связаны между собой элементы матриц A и A^-1?

4. Какая матрица называется вырожденной?

5. Запишите присоединенную матрицу?

6. Как найти обратную матрицу?

7. Перечислите свойства обратных матриц?

Задачи и упражнения для самостоятельной работы.

1. Найдите обратную матрицу для матрицы:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

2. Найдите неизвестную матрицу X из уравнения:

а) ; б)

в) ;

г) ;

д)

1.8 Ранг матрицы Определение 1.8.1.

Наивысший порядок отличного от нуля минора матрицы А_mxn называется рангом этой матрицы и обозначается как rangA или r(А)

Если А - нулевая матрица то r(А)=0

Поскольку r(А) – порядок минора то очевидно следующее утверждения:

1. rangА_{mxn Ј} min(m,n)

2. rangА_nxn = nЫ¦А¦№ 0

Определение 1.8.2.

Если rangА_{mxn Ј} min(m,n) то матрица А называется матрицей полного ранга

Если матрица не полного ранга то утверждение RangА=2 означает что $ М_r№0, а любой минор большего порядка равен 0

Следовательно для определения ранга матрицы достаточно найти минор отличный от нуля ,все окаймляющие миноры которого равны нулю.

Пример1.8.1.

Найти ранг матрицы .

Решение:

Возьмём "отличный то нуля элемент , пусть а₁₁=1 то М_1№0. Окаймляющий его минор ,

Среди миноров окаймляющих М₂ нет отличных от нуля:

Определение 1.8.2.

Пусть RangА=r ,тогда любой минор порядка r (" М_r№0) называется базисным минором , а строки и столбцы , в которых он расположен , называются базисными строками и столбцами

Теорема 1.8.1. (о базисном миноре)

Любой столбец (строка) матрицы есть линейная комбинация базисных столбцов (строк).

Доказательство : пусть М_r№0 расположен в левом верхнем углу матрицы А; А¹,А²…,А^r - базисные столбцы матрицы A.

Покажем ,что

А^к=a₁А¹+a₂А²+…+a_rА^r

1)1Јк Ј r Ю А^к= 0А¹+…+1А^к+…+0А^2Ю А^к – линейная комбинация

2)к > r ,будем окаймлять М_r№0 рассмотрим М_r+1

Пусть а) s Ј r две одинаковых строки Ю М_r+1=0

б) s > r ЮМ_r+1=0, т.к. RangА=r ,такимобразомМ_r+1=a_s1 A_s1 + … + a_srA_sr + a_skM_r ==0 и

Поскольку -A_si\M_r=a_i не зависит от s то

Чтобы доказать справедливость теоремы для строк нужно М_r+1 разложить по столбцу.

Теорема 1.8.1.

Определитель матрицы равен нулю, когда хотя бы один из ее столбцов линейно выражается через другие.

Теорема 1.8.2.

Ранг матрицы при умножении на не вырожденую матрицу не меняется т.е. ¦Q¦№0 Юrang(AQ)= rang(A)

Теорема 1.8.3.

Если к столбцам матрицы приписать или вычеркнуть столбец , который является линейной комбинацией столбцов этой матрицы, то ранг матрицы не изменится.

Контрольные вопросы и задания.

1. Что называется рангом матрицы?

2. Какая матрица называется матрицей полного ранга?

3. Какой минор называется базисным?

4. Сформулируйте теорему о базисном миноре?

5. Необходимые и достаточные условия равенства определителя матрицы?

6. Как изменится ранг матрицы, если к ней добавить: а) один столбец; б) два столбца?

7. Докажите, что максимальное число линейно независимых строк матрицы равно максимальному числу ее линейно независимых столбцов.

Задачи и упражнения для самостоятельной работы.

1. Найдите ранг и базисный минор следующей матрицы:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) .