6. Свойства определителей

1. При замене строк матрицы ее столбцами величина не меняется

ЅАЅ=ЅА^тЅ. Для доказательства достаточно заметить , что разложение определителяЅАЅ по первому столбцу тождественно совпадает с разложением определителя

ЅА^тЅпо первой строке.

2) При перестановке местами двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.

Доказательство: Для определителей второго порядка это свойство проверяется элементарно:

Для определителя n-го порядка , применим теорему Лапласа

Пусть n>2,поменяем местами строки с номерами i₁ и i₂ разложим определитель по этим двум строкам

суммирование ведётся по всевозможным минорам, расположенных в строках i₁ i₂

При перестановке местами строк с номерами i₁ i₂ каждый из миноров меняет знак. Все остальные величины под знаком суммы не зависят элементов строк с номерами i₁, i₂ следовательно определитель меняет знак.

3) Если в матрице есть два одинаковых столбца(строки) то определитель матрицы равен нулю.

Доказательство: переставим 2 одинаковые строки местами, тогда с одной стороны определитель не изменится, а с другой по свойству второму поменяет знак, следовательно, ЅАЅ= 0

4) Общий множитель всех элементов одного столбца (строки) определителя можно вынести за знак определителя.

Доказательство:

5)Сумма произведений элементов какого-либо столбца (строки) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца равна нулю.

, например, для определителя 3-го порядка

Доказательство:

рассмотрим (1)

раскрывая скобки и приводя подобные, получаем равенство нулю.

Определение 1.6.1.

Выражение вида:

где a_i – некоторые числа, а х_i, математические объекты, для которых определены операции сложения и умножения на число , называется линейной комбинацией элементов х₁. . .х_n .

6) Если в матрице А_nxn строка А_i является линейной комбинацией строк B=(b₁…b_n) и C=(c₁…с_n), с коэффициентами соответственно  и  то справедливо равенство:

где - определитель, у которого i-я строка = (b₁…b_n), а все остальные строки те же, что и у

- определитель, у которого i-я строка = (c₁…c_n), а все остальные строки те же, что и у

Доказательство:

 Разложим определители A₁, A₂, A по i-й строке и заметим что у всех определителей M^d_ij-одинаковы, отсюда следует, что формула вытекает из равенства a_ij= b_j+c_j ,

Свойство 7 Если все элементы некоторой строки(столбца) определителя равны нулю, то и определитель равен нулю.

Доказательство следует из 4-го свойства (к=0).

Свойство8. Если элементы двух строк(столбцов) определителя пропорциональны ,то он равен нулю.

Доказательство следует из третьего и четвертого свойств.

Свойство 9. Если к некоторой строке (столбцу) определителя прибавить другую строку (столбец) умноженную на произвольное число то величина определителя не изменится.

Свойство 10 . Если какая либо строка матрицы есть линейная комбинация других ее строк, то определитель матрицы равен нулю.

Свойство 11 . Треугольный определитель у которого все элементы , лежащие выше (ниже) диагонали, нули , равен произведению элементов главной диагонали .

Доказательство следует из разложения определителя по первой строке

Теорема 1.6.1. Пусть A и B матрицы квадратные, одного порядка, тогда определитель их произведения равен произведению определителей:

Контрольные вопросы и задания.

1. Что называется определителем?

2. Как найти значение определителя второго порядка?

3. Приведите правило вычисления определителя третьего порядка?

4. Сформулируйте основные свойства определителей?

5. Как применить теорему Лапласа к вычислению определителей четвертого, пятого порядка?

6. Выбрать значения i и k, так, чтобы произведение a₆₂ a_i5 a₃₃ a_k4 a₄₆ a₂₁ входило в определитель шестого порядка со знаком минус.

7. Как изменится определитель n – го порядка, если все его столбцы написать в обратном порядке?

8. Что такое алгебраическое дополнение элемента определителя det ?

9. Что такое минор элемента определителя det ?

10. Как связаны между собой минор и алгебраическое дополнение элемента определителя det ?

11. Что значит разложить определитель по элементам столбца (строки)?

12. Треугольной матрицей называется матрица, у которой все элементы по одну сторону от главной или побочной диагонали равны нулю. Чему равен определитель треугольной матрицы?

Задачи и упражнения для самостоятельной работы.

1. Вычислите определитель второго порядка:

а) ; б) .

2. Вычислите определитель третьего порядка:

а) ; б) ; в)

3. Вычислите определители:

а) б)

в)

4. Решите уравнение:

5. Решите неравенство: