7. Кривые второго порядка

Кривой 2-го порядка называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени:

где A,B,C,D,E,F – действительные числа, .

7.1.Окружность

Задача 7.1.1. Составить уравнение окружности радиусом R с центром в точке .

Рис.7.1.

Окружность это множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки — центра окружности.

Пусть M — произвольная точка, (x; y) —ее декартовы прямоугольные координаты

или

Уравнение (7.1.) является уравнением второй степени относительно x и y. Следовательно окружность есть кривая второго порядка.

_{Если Ю}

Пример 7.1.1. Найти центр и радиус окружности определяемый уравнением:

Решение: Вычислим полный квадрат:

, , .

7.2. Эллипс

Определение 7.2.1. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами и равная 2а.

Обозначим и фокусы эллипса. Введем декартову систему координат так, чтобы ось x проходила через фокусы, а ось y делила отрезок пополам. Обозначим расстояние между отрезками через 2C. Тогда координаты точек и равны (-C;0) (C;0). Пусть M(x,y) произвольная точка эллипса (см. Рис.7.1.).

=-левый фокальный радиус.

=-правый фокальный радиус.

Отрезки [A₁ , A₂] длины 2a и [B₁ , B₂] длины 2b называются соответственно большой и малой осями эллипса. Отрезок [F₁ , F₂] длины 2c называется фокусным расстоянием.

_Рис.7.1.

_{По определению a>c}

_{,, ,}

_{подставляя, получим:}

сократим на (–4)

уединим x и y

сгруппируем

, , .

Это возможно, т.к. , , .

(7.2.) — каноническое уравнение эллипса

Отношение называется эксцентриситетом и всегда меньше 1. Характеризует степень вытянутости эллипса. Чем больше , тем более вытянут эллипс. Тогда, чем меньше  , тем меньше малая ось эллипса отличается от его большой оси, и форма эллипса приближается к форме окружности радиусом R=a=b. В пределе при =0 эллипс превращается в окружность.

При фокусы сливаются, радиусы становятся равными, следовательно в этом частном случае элипс есть окружность.

Расстояние от произвольной точки до каждого из фокусов является линейной функцией от ее абсциссы x: , .

Две прямые и параллельные малой оси эллипса и отстоящие от нее на расстоянии, равном называются директрисами эллипса. Их уравнения . Если фокусы эллипса расположены на оси oy , то уравнения эллипса имеют тот же вид (7.2.), но в этом случае и , а . Уравнение касательной к эллипсу в точке имеет вид: .

7.3.Гипербола

Определение 7.3.1. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная равная 2а. (Рис.7.2.)

Рис.7.2.

_Рис.7.3.

_{Точки F1(-c;0) , F2(c;0) называются фокусами гиперболы. Точки A1 и A2 называются действительными вершинами гиперболы. Точки B1 и B2 – мнимыми вершинами. Точка O(0;0) называется центром гиперболы.}

_{Найдем r1 и r2 и подставим в равенство:}

_{произведем преобразования аналогично в (7.2.)}

Полагая .

Получим (7.3.) — называется каноническим уравнением гиперболы.

Прямые, на которых лежат диагонали прямоугольника, являются асимптотами гиперболы. Их уравнения:

Эксцентриситет гиперболы характеризует форму основного прямоугольника и форму самой гиперболы, он равен .

Прямые и параллельные малой оси гиперболы и отстоящие от нее на расстоянии равной называются директрисами гиперболы. Уравнения директрис: .

Фокальные радиусы точки M (правой) :_, ,

левой точки _{: ,} .

Если фокусы гиперболы расположены на оси OY , то ее уравнение

имеет вид:

Касательная в точке имеет уравнение :.

Пример 7.3.1. Гипербола проходит через точку , ее фокусы находятся в точках и . Составить уравнение ее асимптот и найти угол между ними.

Решение. , Ю.

Уравнение асимптот .

Угол - угол между двумя прямыми, угловые коэффициенты их равны: , Ю применим формулу:

ЮЮ.