8.4.3. Параболоиды Эллиптический параболоид.

Определение 8.4.3.1. Поверхность, имеющая уравнение (8.7.) где p > 0, q > 0 называется эллиптическим параболоидом.

1. Если p=q, то эллиптический параболоид будет поверхностью вращения, образованный вращением параболы вокруг оси z.

2. В общем случае эллиптический параболоид не является поверхностью вращения: сечения его плоскостями перпендикулярными оси z, уже не окружности ,а эллипсы.

Доказано, сечения эллиптического параболоида плоскостями, параллельными плоскости ху, задаются системой уравнений . Так как p и q>0, то при любых значениях x и y.

1. Если h < 0, то эта система не имеет решений, т.к. . Поэтому «под плоскостью» ху нет точек эллиптического параболоида.

2. При h = 0 система имеет единственное решение (0; 0; 0), т.е. эллиптический параболоид имеет с плоскостью ху единственную общуюточку - начало координат.

3. При h > 0 система определяет эллипс , с полуосями

. При возрастании h полуоси эллипса возрастают (неограниченно).

Сечение эллиптического параболоида координатными плоскостями xz и yz представляют собой параболы, которые задаются соответственно системами уравнений: и

Если в уравнении (8.7.) p=q , то в сечениях горизонтальными плоскостями образуются окружности.

Замечание. Уравнения и также определяют эллиптический параболоид.

Рис.8.12.

Гиперболический параболоид.

Определение. Гиперболический параболоид - поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид (8.9.) где pq > 0.

Исследуем форму этого параболоида при p > 0, q > 0.

Пусть y=0 (8.10.)- парабола в плоскости zox.

Пусть x=0 (8.11.) - парабола, обращенная ветвями вниз в плоскости zoy.

Пересечем поверхность плоскостями x=h, x=-h:

или - параболы с ветвями вниз и вершинами, поднятыми вверх над осью Ох на .

- пара пересекающихся прямых (проходящих через т.О),с угловыми коэффициентами: : .

Рис.8.12.

В силу произвольного заключаем, что гиперболический параболоид может быть образован путем параллельного перемещения параболы (8.11.), при котором её вершина движется по параболе (8.10.).

Если z = -m < 0; , получим гиперболу с действительной полуосью .

При z = l > 0; , гипербола с действительной полуосью . Полученные сечения позволяют построить искомую поверхность (Рис.8.12.).

Пример 8.4.3.1. Определить вид поверхности:

Решение: Приведем к каноническому виду: Произведем параллельный перенос осей координат в точку (2,4,6): - гиперболический параболоид.

8.4.4. Конус второго порядка

(8.12.) – называется уравненим конуса второго порядка. Применив метод сечения получим (Рис.8.13.)

Замечание: Уравнения и также определяют конус второго порядка.

Рис.8.13.

Пример 8.4.4.1. Определить вид поверхности:

Решение: Приведем к каноническому виду: Произведем параллельный перенос осей координат в точку (1,2,-1):

- коническая поверхность.

Контрольные вопросы и задания.

1. Что называется поверхностью вращения?

2. В чем заключается метод сечения?

3. Запишите канонические уравнения поверхностей второго порядка.

4. Составить уравнение поверхности, образованной вращением эллипса вокруг оси Ox .

5. Составить уравнение поверхности, образованной вращением гиперболы вокруг оси Oz .

6. Доказать, что эллиптический параболоид, определяемый уравнением , может быть получен в результате вращения параболы вокруг оси Oz и последующего равномерного сжатия пространства к плоскости Oxz.

7. Доказать, что уравнение z=xy определяет гиперболический параболоид.

8. Доказать, что уравнение определяет конус с вершиной в начале координат.

9. Ось Oyявляется осью круглого конуса с вершиной в начале координат; его образующие наклонены под углом в 60 к оси Oy. Составить уравнение этого конуса.

10. Составить уравнение конуса с вершиной в точке S(3;0;-1), образующие которого касаются эллипсоида .

Задачи для самостоятельной работы.

1. Определить координаты центра и радиус сферы

2. Найти радиус и координаты центра сферы

3. Какие поверхности определяют уравнения

1) ; 2) ; 3) ; 4) ?

4. Какие поверхности определяют уравнения

1) ; 2) ; 3) ; 4) ?

5. Какую линию определяет система уравнений

6. Определить уравнение поверхности вращения, образованной вращением прямой вокруг оси Ox (конус).

7. Найти уравнение поверхности, образованной вращением эллипса

вокруг 1) оси Ox; 2) оси Oz.

8. Найти уравнение поверхности, образованной вращением гиперболы

вокруг 1) оси Ox; 2) оси Oz.

9. Определить главные сечения эллипсоида

, а также координаты его вершин и длину осей.

10. Найти линии пересечения поверхности гиперболоида

с координатными плоскостями и с плоскостями z=2, x=3.

11. Какие поверхности определяются уравнениями

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) .

12. Какие поверхности определяются уравнениями

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .