2.7. Методы решения задач нелинейного программирования с ограничениями

Задачи с ограничениями более трудны, чем задачи безусловной минимизации. В основном процедура их решения базируется на одном из следующих подходов:

1. Распространение аппарата линейного программирования (последовательная линейная аппроксимация).

2. Преобразование задачи с ограничениями в задачу безусловной минимизации путем введения штрафных функций.

2.7.1. Методы линейной аппроксимации

Основная идея этих методов – замена всех нелинейных функций их разложением в ряд Тейлора до членов 1-го порядка в окрестности текущей точки поиска и решение полученной задачи линейного программирования. Если обозначить через Х^(к) оптимальное решение соответствующей линейной задачи на к-ом этапе, то при выполнении определенных условий последовательность решений должна сходиться к оптимальному решению исходной нелинейной задачи: .

Рассмотрим общую задачу нелинейного программирования:

Соответствующая линейная аппроксимация в окрестности точки :

Пример 2.7.1. Решим методом линейной аппроксимации следующую задачу нелинейного программирования:

D:

В качестве начальной точки возьмем точку . Тогда

В результате линейной аппроксимации получим:

L:

Х₂

A₁ f = –12

A

₅

D f = 0

B

g₂(X) L

₀ B₁ Х₁

₅

Рис. 2.7.1

На чертеже исходная область D имеет вид дуги АВ, а линеаризованная область допустимых решений L – отрезок прямой А₁В₁. Легко видеть, что истинное оптимальное решение исходной задачи достигается в точке А ≈ (1; 4,9), .

Найдем графическое решение линеаризованной задачи в первом приближении. Очевидно , значит min f достигается в точке А₁, в которой пересекаются прямые . Решаем систему линейных уравнений:

4х₁ + 8х₂ = 45;

3х₁ + х₂ = 7; отсюда

Найденная точка А₁ не принадлежит допустимой области, тем не менее в окрестности А₁ мы можем еще раз проделать линейную аппроксимацию нашей задачи:

Решение этой задачи достигается в точке А₂ (0,96; 4,9), где

Еще одну итерацию можно произвести, проделав линейную аппроксимации в окрестности А₂:

L:

Решение последней задачи достигается в точке А₃(1,001; 4,899),

Видно, что полученное решение с достаточно большой точностью совпадает с истинным решением нелинейной задачи.

***

В методе Р. Гриффитца и А. Стюарта к описанной процедуре добавляется условие:

; j = 1, …, n,

где вектор с достаточно малыми компонентами. Данное условие ограничивает длину шага при перемещении в том или ином направлении и не позволяет очередному приближенному решению выходить за границы D. В дальнейшем, по мере приближения к окончательному решению, компоненты уменьшают а критерием окончания поиска является условие:

Сходимость методов линейной аппроксимации к искомому решению гарантируется при выполнении условий:

1. D – непустое, замкнутое и выпуклое множество;

2. функции ограничены в D;

3) непрерывны и дифференцируемы;

4) – выпукла, а – вогнуты на D.

На практике для большинства реальных задач данные методы позволяют найти локальный минимум даже в тех случаях, когда условия (1)–(4) не выполнены.