1.1.7 Побудова епюр для кривих стержнів

Кривим стержнем (брусом) називається стержень, геометрична вісь якого криволінійна.

Надалі будемо розглядати криві стержні, в яких:

а) геометрична вісь – плоска крива;

б) площина кривизни – площина симетрії;

в) діючі сили лежать в площині кривизни.

Внутрішні зусилля в поперечному перерізі бруса визначають методом перерізів через зовнішні зусилля, що діють по одну сторону від перерізу. В поперечних перерізах виникають в загальному випадку три внутрішні силові фактори: поздовжня сила N, поперечна сила Q та згинальний момент М.

В випадку, коли вісь кривого стержня являє собою дугу кола, положення любого перерізу зручно визначати за допомогою полярної системи координат, тоді поздовжня, поперечна сила та згинальний момент будуть функціями кута  – N(), сила Q(), М().

Правила визначення N(), Q(), М().

Поздовжня сила N в вибраному перерізі дорівнює алгебраїчній сумі проекцій всіх зовнішніх сил, що розташовані по одну сторону від перерізу; сили проектуються на дотичну до геометричної осі в вибраному перерізі.

Правило знаків N (збігається з правилом знаків для балок та рам): якщо проекція зовнішньої сили направлена від перерізу (розтяг) то вона береться зі знаком “+”, якщо до перерізу (стиск), то знак “–”.

Поперечна сила Q в вибраному перерізі дорівнює алгебраїчній сумі проекцій всіх зовнішніх сил, що розташовані по одну сторону від перерізу; сили проектуються на радіус кривизни, проведений до точки перерізу.

Правило знаків Q (збігається з правилом знаків для балок та рам): якщо зовнішня сила намагається обертати відрізану частину стержня за годинниковою стрілкою то її проекція береться зі знаком “+”, якщо проти годинникової стрілки, то знак “–”.

Згинальний момент М в вибраному перерізі дорівнює алгебраїчній сумі моментів всіх зовнішніх сил відносно центра ваги перерізу, при цьому розглядаються моменти сил, що розташовані по одну сторону від перерізу.

Правило знаків М: якщо зовнішня сила намагається деформувати відрізану частину стержня таким чином, що його кривизна буде збільшуватись, то момент від цієї сили береться зі знаком “+”.

Диференціальні співвідношення між N(), Q(), М() виводяться на основі рівноваги елемента, виділеного з довільно навантаженого кривого стержня. Вони мають вид (для випадку, коли рівномірно розподілене навантаження відсутнє q = 0)

, , , (1.7)

де R – радіус кривизни стержня в перерізі. Основні правила перевірки правильності побудови епюр залишаються такими ж, як і для балок та рам із врахуванням особливостей диференціальних залежностей (1.7).

Приклад

Побудувати епюри внутрішніх силових факторів для криволінійного стержня, показаного на рисунку 1.15. Вихідні дані P₁ = 5 кН; P₂ = 10 кН; М = 4 кНм; R = 2 м,  = /2, ₂ = 3/2.

Розв’язування

Розділяємо стержень на дві ділянки і складаємо рівняння поздовжніх, поперечних сил та згинальних моментів для кожної з них (рис. 1.16).

Ділянка АВ

0    ;

N() = –P₁cos().

Q( ) = –P₁sin();

М( ) = –P₁R[1 – cos()].

або 0    /2.

N() = –5cos();

Q( ) = –5sin();

М( ) = –10[1 – cos()].

Ділянка ВС.

    ₂.

N() = –P₁cos() – P₂sin( – );

Q( ) = –P₁sin() + P₂cos( – );

М( ) = –P₁R[1 – cos()] + P₂Rsin( – ) + М.

або /2   3/2.

N() = –5cos() – 10sin( – /2);

Q( ) = –5sin() +10cos( – /2);

М( ) = –10[1 – cos()] + 20sin( – /2) + 4.

З інтервалом в /6 (30⁰) 0   3/2 знаходимо значення внутрішніх силових факторів в перерізах (таблиця 1.1).

Таблиця 1.1

	Ділянка АВ 0    /2					Ділянка ВС /2   3/2
	00	300	600	900	900		1200	1500	1800	2100	2400	2700
N() , кН	-5	-4,33	-2,5	0	0		-2,5	-4,33	-5	-4,33	-2,5	0
Q(), кН	0	-2,5	-4,33	-5	5		4,33	2,5	0	-2,5	-4,33	-5
М(), кНм	0	-1,34	-5	-10	-6		-1	2,66	4	2,66	-1	-6

За отриманими значеннями будуємо на осі криволінійного стержня епюри поздовжніх N(), поперечних сил Q() та згинальних моментів М() (рисунок 1.16).

Ординати згинальних моментів відкладені в сторону стиснутих волокон без вказівки знаку. При прийнятому правилі знаків ординати зі знаком “+” до центра кривизни від осі стержня, “–” від центра кривизни від осі стержня. При побудові на розтягнутих волокнах – навпаки.

Відкладаються ординати поздовжніх N() та поперечних сил Q() зі знаком “+” на зовнішні стороні стержня, із обов’язковим указанням знака.

Перевірка епюр.

В точці А прикладена зосереджена сила Р₁ по дотичній до осі стержня, в цій точці на епюрі N() – стрибок на величину цієї сили. На епюрах Q() та М() в точці А стрибків немає. Графіки плавно виходять із нуля.

В точці В прикладена зосереджена сила Р₂, перпендикулярно до осі стержня, та момент М. В цій точці на епюрі Q() – стрибок на величину сили Р₂, на епюрі М() – стрибок на величину момента М. На епюрі N() в точці В стрибків немає.

Епюра Q() перетинає нульову лінію (вісь стержня) двічі – в точці В, та при  = 180⁰. В цих перерізах на епюрах N() та М() будуть екстремальні точки (або дотична до епюр паралельна дотичній до осі стержня в перерізі).

В додатку Б наведена програма, інструкція до написання програми та результати розрахунку приведеної вище задачі із застосуванням пакета програм Mathcad 2000.