1.1.5 Побудова епюр q і м для консольних балок

Балка, жорстко закріплена одним кінцем (рисунок 1.7) називається консольною.

На відміну від двоопорних балок, при побудові епюр внутрішніх зусиль для консольних балок, опорні реакції можна не визначати, проте необхідно рухатись завжди від вільного кінця балки до защемлення. При відомих опорних реакціях напрямок розгляду ділянок не має значення.

Всі інші правила та залежності при побудові Q і М для консольних балок залишаються незмінними (див п. 1.1.3, 1.1.4).

Приклад. Скласти рівняння та встановити закони розподілу поперечних сил і згинальних моментів для балок, показаних на рисунку 1.8, 1.9.

Рисунок 1.8. Розріжемо балку довільним перерізом, що знаходиться на відстані х від вільного кінця балки. Значення розподіленого навантаження в цьому перерізі визначимо через подібність трикутників

, q(x) = .

Поперечна сила Q_y(x) чисельно дорівнює площі трикутника, утвореного його катетами q(x) та x. Ця сила прикладена в центрі ваги трикутника – на відстані від його катета.

Вирази Q_y(x) та M_z (x) запишемо із врахування правил знаків

Q_y(x) = -G = –q(x)x = ;

M_z (x) = -G = – q(x)x = .

Отже, Q_y(x) змінюється по квадратичній параболі, M_z (x) – по кубічній (рисунок 1.10).

Рисунок 1.9. Задача зводиться до попередньої. Додамо до прикладеного до балки навантаження до рівномірно розподіленого q. Для того, щоб схема навантаження не змінилась, прикладемо знизу навантаження протилежного знака, так як показано на рисунку. Тепер маємо балку, що навантажена рівномірно розподіленим навантаженням q = const та трикутним навантаженням з вершиною на вільному кінці балки.

Вирази Q_y(x) та M_z (x) будуть мати вигляд із врахуванням

Q_y(x) = G – qx = – qx;

M_z (x) = G – = – .

Рисунок 1.11 ілюструє характер змінювання Q_y(x) та M_z (x).

Приклад. Побудувати епюри поперечних сил і згинальних моментів для консольної балки, показаної на рисунку 1.12, а.

Опорні реакції не визначаємо. Напрямок розгляду перерізів – від точки А до защемлення.

Розділяємо балку на чотири ділянки і складаємо рівняння поперечних сил Q_y(x) та згинальних M_z (x) моментів для кожної з них. Для трикутного розподіленого навантаження користуємось виведеними вище залежностями.

Ділянка АВ

0  x₁  1 м.

Q_y(x₁) = = ,

M_z (x₁) = М = + 2,

при x₁=0 м Q_y(0) = 0 кН,

M_z (0) = 2 кНм,

при x₁=1 м Q_y(1) = -1 кН,

M_z (1) = 1,67 кНм.

Ділянка ВС

0  x₂  1 м.

Q_y(x₂) = = ,

M_z (x₂) = М = 1,67 – –,

при x₂ = 0 м Q_y(0) = -1 кН,

M_z (0) = 1,67 кНм,

при x₂ = 1 м Q_y(1) = -3 кН,

M_z (1) = -0,33 кНм.

Ділянка CD

0  x₃  1 м.

Q_y(x₃) = = ,

M_z (x₃) = М =

= -0,33 – 3–+ ,

при x₃ = 0 м Q_y(0) = -3 кН,

M_z (0) = -0,33 кНм,

при x₃ = 1 м Q_y(1) = -4 кН,

M_z (1) = -4 кНм.

Ділянка DE

0  x₄  1 м.

Q_y(x₄) = = 1 (кН),

M_z (x₄) = М + Р =

= -4 +,

при x₄ = 0 м M_z (0) = -4 кНм,

при x₄ = 1 м M_z (1) = -3 кНм.

За отриманими значеннями, із врахуванням основних властивостей епюр та рис. 1.10 та 1.11, будуємо епюри для заданої балки (рисунок 1.12)