5.1.2 Епюри крутних моментів

Для розрахунку бруса на кручення (формули 5.75.12) необхідно знати величину крутного моменту М_х в будь-якому поперечному перерізі бруса. Закон зміни крутних моментів по довжині бруса М_х(х) називають епюрою крутних моментів. Епюра дає наочне зображення розподілу крутних моментів вздовж осі бруса. Величину М_х знаходять із умови рівноваги будь-якої частини бруса, розміщеної з одного боку від перерізу. Із рівняннь рівноваги випливає, що крутний момент у будь-якому поперечному перерізі чисельно дорівнює алгебраїчній сумі зовнішніх моментів, прикладених до бруса справа або зліва від перерізу.

Епюри крутних моментів дають змогу визначити небезпечні перерізи, зокрема, якщо брус має сталий поперечний переріз, то небезпечними будуть перерізи на ділянці, де виникає найбільший крутний момент.

Крутний момент вважають додатним, якщо результуючий момент зовнішніх пар, прикладених до розглядуваної частини бруса буде напрямлений за стрілкою годинника, коли дивитися в торець перерізу, і навпаки. Користуючись принципом пом’якшених граничних умов, вважатимемо, що у поперечному перерізі, де прикладений скручувальний момент, значення крутного моменту змінюється стрибкоподібно.

При побудові епюри крутних моментів їх величини відкладають перпендикулярно прямій, паралельній осі бруса (базі епюри). На рисунку 5.4 приведений приклад побудови епюри крутних моментів.

5.1.3 Розрахунки на міцність і жорсткість

Для нормальної роботи стержнів на кручення необхідно задовольнити:

а) умову міцності

, (5.13)

б) умову жорсткості

, (5.14)

де   допустиме напруження кручення, яке вибирають залежно від допустимого напруження на розтяг, умов роботи конструкції та інше. Наприклад:

для сталей []=(0,55...0,60)[]_р,

для чавунів []=(1,0...1,2)[]_р.

В формулі (5.14)   допустимий кут закручування, нормований технічними умовами.

Для вала суцільного поперечного перерізу

, звідки .

Для трубчастого вала

, звідки .

де  = d/D.

При розрахунках на жорсткість, враховуючи (5.14) і значення I_p для суцільного вала , для трубчастого вала

знаходимо:

для суцільного вала ,

для трубчастого вала .

Таким чином діаметр вала визначають з умови міцності (5.13) та умови жорсткості (5.14). За кінцевий розмір беруть більший діаметр.

Часто скручувальні моменти визначають за потужністю N, що передається на вал або знімається з нього і за його кутовою швидкістю . У такому випадку скручувальний момент визначають за формулою

. (5.15)

Якщо N взяти в ватах, а   у радіанах за секунду, то М_к буде в Нм.

5.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи

Задача 5. Розрахунок вала на кручення

Для вала, який навантажений тільки крутними моментами (рис. 5.5-5.8):

а) обчислити величину та напрямок моменту Т₀;

б) побудувати епюру крутних моментів;

в) обчислити діаметри ділянок вала із умов міцності і жорсткості, якщо

[] = 0,5 ⁰/м;

Для однієї із ділянок розрахунок зробити для двох випадків: суцільний переріз вала і кільцевий при відношенні внутрішнього діаметра до зовнішнього  = d/D = 0,8; порівняти вагу валів суцільного та кільцевого перерізу, зробити висновок щодо раціонального перерізу.

г) побудувати епюру кутів повороту перерізів вала (в градусах).

Таблиця 5.1

Варіант	Т1, Нм	Т2, Нм	Т3, Нм	а, м	Матеріал (сталь)
0	1000	3100	2200	0,1	Ст5
1	2500	1200	2500	0,5	20
2	4000	1500	1800	0,2	30
3	1500	2200	2800	0,4	45
4	3000	2300	1600	0,1	60Г
5	2000	1500	1700	0,3	40Х
6	3500	1400	3100	0,5	20Х
7	1000	3100	2700	0,2	45Х
8	2000	1700	1400	0,4	12ХН3А
9	1500	2100	2300	0,1	30ХСГА

Приклад. Розрахувати вал, зображений на рис. 5.9 на кручення, згідно з приведеним в задачі 5 порядку розрахунку.

Вихідні дані. Т₁ = 1000 Нм; Т₂ = 3000 Нм; Т₃ = 2000 Нм; [] = 1 ⁰/м;

 = d/D = 0,7, сталь 40Х .

Знайти: Т_о, М_кр(х), d₁, d₂, d₃, (х).

Розв’язування

Знаходимо невідомий крутний момент Т₀, користуючись рівнянням рівноваги у вигляді

Т_і = 0;

Нехай Т₀ має такий самий напрямок, як і Т₁, (правило знаків приймаємо довільно) тоді

Т₁ + Т₀ – Т₂ – Т₃ = 0, звідки

Рисунок 5.5

Рисунок 5.6

Рисунок 5.7

Т ₀ = -Т₁ + Т₂ + Т₃ = -1000 + 3000 + 2000 = 4000 Нм.

Будуємо епюру крутних моментів

Знаходимо внутрішні крутні моменти , використовуючи метод перерізів.

Ділянка АВ

0  x₁  1 м,

М_I = -Т₁ = -1000 Hм.

Ділянка ВС

0  x₂  0,5 м,

М_II = -Т₁ – Т₀ = -1000 – 4000 = -5000 Hм.

Ділянка СD

0  x₃  0,7 м,

М_III = -Т₁ – Т₀ + Т₂ = -1000 – 4000 + 3000 = -2000 Hм.

Епюра крутних моментів приведена на рис. 5.10.

Із умови міцності при крученні знаходимо мінімальне значення діаметра ділянок вала суцільного перерізу

, звідки ,

Для трубчастого вала

, звідки , де  = d/D.

Із умови жорсткості при крученні знаходимо мінімальне значення діаметра ділянок вала, де значення I_p для суцільного вала , для трубчастого вала .

Отже, для суцільного вала ,

для трубчастого вала .

Визначення допустимих напружень

Допустимі напруження для сталі 40Х (пластичний матеріал) дорівнюють (формула 2.20)

= 400 МПа,

[] = (0,55...0,60)[]_р = 0,6400 = 240 МПа.

де _н = _т = 800 МПа  границя текучості сталі 40Х (див. додаток Ж),

n  коефіцієнт запасу міцності при дії на вал статичного навантаження n = 1,5...2, приймаємо n = 2.

Ділянка АВ. М_I = -1000 Hм.

Суцільний переріз

умова міцності

= 0,0277 (м),

умова жорсткості

= 0,052 (м),

Приймаємо більший з розрахованих та округляємо його до стандартного числа = 55 мм.

Для трубчастого вала

умова міцності

= 0,0303 (м),

умова жорсткості

= 0,0557 (м).

Приймаємо більший з розрахованих та округляємо його до стандартного числа = 60 мм.

Внутрішній діаметр трубчатого перерізу d_т = D_I = 600,7= 42 мм.

Порівняємо вагу валів кожного перерізу. Співвідношення мас валів прямо пропорційне площам їх перерізів при однаковій густині матеріалу  та довжині вала:

,

=1,65.

Отже, с точки зору економії матеріалу кільцевий переріз вала є раціональнішим, оскільки вал буде мати меншу масу в 1,65 рази при заданій величині  = 0,7.

Подальший розрахунок ділянок вала ведемо за умовою жорсткості, виходячи із аналізу результатів для першої ділянки.

Ділянка ВС. М_II = -5000 Hм.

= 0,0778 (м).

Приймаємо = 80 мм.

Ділянка СD. М_III = -2000 Hм.

= 0,0618 (м).

Приймаємо = 65 мм.

Будуємо епюру кутів закручування

Кут закручування знаходимо із виразу

,

де l – довжина відрізка вала; – полярний момент інерції.

Визначимо кут закручування граничних перерізів на кожній ділянці відносно перерізу в точці А.

Ділянка АВ. 0  x₁  1 м, М_I = -1000 Hм, = 55 мм.

== 8,9810^-7 (м⁴),

= 0,80⁰.

Ділянка ВС. 0  x₂  0,5 м, М_II = -5000 Hм, = 80 мм.

== 4,0210^-6 (м⁴),

== -1,24⁰,

Ділянка СD. 0  x₃  0,7 м, М_III = -2000 Hм, = 65 мм.

== 1,7510^-6 (м⁴),

=

= -1,82⁰.

Виходячи із отриманих значень _і (і =1, 2, 3), будуємо епюру кутів закручування вала (рис 5.10), враховуючи лінійний вид графіка.

6 ЗГИН