- •4.1 Короткі теоретичні відомості……………………………………...72
- •5.1 Короткі теоретичні відомості……………………………………..85
- •6.1 Короткі теоретичні відомості……………………………………..98
- •6.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи …………………..108
- •Передмова
- •Порядок та основні вимоги до виконання роботи
- •1 Епюри внутрішніх силових факторів
- •1.1 Короткі теоретичні відомості
- •1.1.1 Внутрішні сили. Метод перерізів
- •1.1.2 Епюри внутрішніх зусиль
- •1.1.3 Диференціальні залежності між q, q та m
- •1.1.4 Побудова епюр q і м для двоопорних балок
- •1.1.5 Побудова епюр q і м для консольних балок
- •1.1.6 Побудова епюр внутрішніх зусиль для плоских рам
- •Приклад
- •Розв’язування
- •1.1.7 Побудова епюр для кривих стержнів
- •Приклад
- •Розв’язування
- •1.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •2 Розтяг (стиск). Статично невизначувані
- •2.1 Короткі теоретичні відомості
- •2.1.1 Напруження при осьовому розтягу (стиску)
- •2.1.2 Деформації при осьовому розтягу (стиску)
- •2.1.3 Закон Гука при розтягу (стиску)
- •2.1.4 Статично невизначувані задачі
- •2.1.5 Розрахунки на міцність за допустимими напруженнями
- •2.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •3 Напружено-деформований стан в точці
- •3.1 Короткі теоретичні відомості
- •3.1.1 Поняття про напружений стан
- •3.1.2 Плоский напружений стан
- •3.1.3 Головні площадки і головні напруження
- •3.1.4 Круг напружень
- •3.1.5 Узагальнений закон Гука
- •3.1.6 Потенціальна енергія деформації
- •3.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •Розв’язування
- •4 Геометричні характеристики плоских перерізів
- •4.1 Короткі теоретичні відомості
- •4.1.1 Статичний момент площі. Центр ваги перерізу
- •4.1.2 Моменти інерції перерізу
- •4.1.3 Формули переходу до паралельних або повернутих осей
- •4.1.4 Головні осі інерції та головні моменти інерції перерізу
- •4.1.5 Радіуси інерції. Моменти опору
- •4.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи Задача 4. Обчислення геометричних характеристик складного перерізу*
- •Дані для розрахунку взяти із таблиці 4.1.
- •Розв’язування
- •Визначення центру ваги перерізу (формули 4.2, 4.3)
- •Визначення напрямку головних центральних осей та головних моментів інерції перерізу
- •Перевірка
- •5 Кручення
- •5.1 Короткі теоретичні відомості
- •5.1.1 Напруження і деформації при крученні стержнів круглого поперечного перерізу
- •5.1.2 Епюри крутних моментів
- •5.1.3 Розрахунки на міцність і жорсткість
- •5.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи
- •6.1 Короткі теоретичні відомості
- •6.1.1 Основні поняття
- •6.1.2 Напруження при чистому згині
- •6.1.3 Поперечний згин. Дотичні напруження
- •6.1.4 Аналіз напруженого стану при згині.
- •6.1.5 Рівняння пружної лінії зігнутої балки
- •6.1.6 Визначення кутових та лінійних переміщень методом
- •6.2 Завдання до розрахунково-графічної роботи Задача 6. Розрахунок балки на міцність і жорсткість
- •Розв’язування Побудова епюр поперечних сил та згинальних моментів
- •Розрахунок балки на жорсткість
- •Необхідний мінімальний момент інерції перерізу має бути
- •Література
Розв’язування Побудова епюр поперечних сил та згинальних моментів
Визначаємо опорні реакції із рівнянь рівноваги статики.
МА = 0;
-M – F(2+2) – q2(2 + 1) + RB(2 + 2 + 2) = 0;
RB = [M + F(2+2) + q2(2 + 1)]/6 = [40 + 204 + 106)]/6 = 30 кН.
МВ = 0;
-M + F2 + q2(2 + 1) – RA(2 + 2 + 2) = 0;
RA = [-M + F2 + q2(2 + 1) ]/6 = [-40 + 202 + 106)]/6 = 10 кН.
Перевірка.
Fy = 0;
RА – q2 – F + RB = 10 – 102 –20 + 30 = 0.
Розділяємо балку на чотири ділянки і складаємо рівняння поперечних сил та згинальних моментів для кожної з них.
Ділянка ЕА (розглядаємо справа наліво).
0 м х1 2 м.
Q(x1) = 0 кН;
М(x1) = М = 40 кНм.
Ділянка AD (розглядаємо справа наліво).
0 м х2 2 м.
Q(x2) = RА = 10 кН;
М(x2) = М + RАx2 = 40 + 10x2;
при x2 = 0 М(0) = 40 кНм,
при x2 = 2 М(2) = 40 + 102 = 60 кНм.
Ділянка BC (розглядаємо зліва направо).
0 м х3 2 м.
Q(x3) = -RB = -30 кН;
М(x3) = RBx3 = 30x3;
при x3 = 0 М(0) = 0 кНм,
при x3 = 2 М(2) = 302 = 60 кНм.
Ділянка CD (розглядаємо зліва направо).
0 м х4 2 м.
Q(x4) = -RB + F + qx4 = -10 + 10x4;
М(x4) = RB(x3 + 2) – Fx4 – q(x4)2/2 = 60 + 10x4 – 5(x4)2;
при x4 = 0 Q(0) = -10 кН;
М(0) = 60 кНм.
при x4 = 2 Q(2) = -10 + 102 = 10 кН;
М(2) = 60 + 102 – 522 = 60 кНм.
Оскільки епюра Q(x4) перетинає вісь х, то в точці перетину епюра М(x4) набуватиме екстремального значення.
Q(x4) = 0;
-10 + 10x4 = 0,
звідки x4 = 1 м;
М(1) = 60 + 101 – 512 = 65 кНм.
За отриманими значеннями будуємо епюри поперечних сил Q(х) та згинальних моментів М(х).
Визначення небезпечних поперечних перерізів по довжині балки
За максимальними нормальними напруженнями max небезпечний переріз знаходиться в точці, де діє максимальний згинальний момент (за модулем)
Мmax = 65 кНм.
За максимальними дотичними напруженнями max небезпечний переріз знаходиться в точці, де діє максимальна поперечна сила (за модулем)
Qmax = 30 кН.
За максимальними еквівалентними напруженнями небезпеч-ний переріз знаходиться в точці, де одночасно діє максимальний згинальний момент (за модулем) та максимальна поперечна сила (за модулем).
Вказівка. Якщо ці точки не збігаються, то для визначення небезпечного перерізу необхідно розрахувати низку перерізів, в яких ймовірно досягають максимального значення або будувати епюру розподілу (х). Для спрощення оптимального пошуку в навчальних цілях розрахунок можна виконати для перерізу, в якому чисельно сума Q(x) + M(x) набуває максимального значення.
Отже небезпечний переріз знаходиться в т. С, де
Q(x) = 30 кН , M(x) = 60 кНм,
Q(x) + M(x) = 30 + 60 = 90 max.
Проектний розрахунок перерізів за умовою міцності при чистому згині
Мmax = 65 кНм.
Визначаємо допустимі напруження.
Допустиме нормальне напруження для сталі Ст5 (пластичний матеріал) дорівнює (формула 2.20)
= 160 МПа,
де н = т = 320 МПа границя текучості сталі 5 (див. додаток Ж),
n коефіцієнт запасу міцності при дії на конструкцію статичного навантаження n = 1,5...2, приймаємо n = 2.
Таким чином = 160 МПа.
Допустиме дотичне напруження для сталі (пластичний матеріал) приймаємо
= 80 МПа.
За формулою (6.10) знаходимо необхідний момент опору
(м3) = 406,3 см3. (6.27)
За сортаментом підбираємо двотавр №27а (додаток Д), для якого см3, см3, Іz = 5500 см4, А = 43,2 см2, h = 27 см, b = = 135 мм, d = 6 мм, t = 10,2 мм.
Для круглого перерізу момент опору
, звідки .
Необхідний діаметр з урахуванням (6.27)
=16,06 см.
Округляємо діаметр до стандартного числа та приймаємо = 165 мм.
Для прямокутного перерізу момент опору (розміщуємо переріз раціонально)
, звідки при умові h = 2b
, .
Необхідний діаметр з урахуванням (6.27)
= 8,49 см.
Округляємо ширину b та приймаємо b = 85 мм. Висота прямокутника h = 2b = 170 мм.
Вибір раціонального перерізу
Порівняємо вагу балок кожного перерізу. Співвідношення мас балок прямо пропорційне площам їх перерізів при однаковій густині матеріалу та довжині балки:
;
4,95;
= 3,34.
Отже, с точки зору економії матеріалу двотавровий переріз балки є раціональнішим, оскільки балка буде мати найменшу масу. Круглий переріз із розрахованих матиме найбільшу масу (майже в 5 разів ніж двотавровий).
Перевірка міцності двотаврової балки за максимальними дотичними напруженнями
Qmax = 30 кН.
Максимальні дотичні напруження згідно з формулою Журавського рівні
Па.
Перевіримо виконання умови міцності
= 20,8 МПа =80 МПа.
Таким чином, міцність балки за максимальними дотичними напруженнями забезпечена.
Вказівка. При невиконанні умови міцності.
Якщо максимальне дотичне напруження не перевищує допустиме більше ніж на 5% ( 1,05), то розміри перерізу (№ двотавра) залишають без змін з відповідним обґрунтуванням. Якщо перевищує допустиме більше ніж на 5% ( 1,05), то необхідно збільшити розміри перерізу (№ двотавра) та виконати перевірку для нового перерізу.
Побудова епюр нормальних та дотичних напружень в небезпечному поперечному перерізі та повна перевірка міцності двотаврової балки
Небезпечний переріз знаходиться в т. С, де
Q(x) = 30 кН , M(x) = 60 кНм
Знайдемо значення нормальних та дотичних напружень для характерних точок двотаврового перерізу (рис. 6.14), використовуючи відомі формули
, .
Точка 1 належить граничній поверхні полиці “зверху”
у1 = h/2 = 0,135 м, = 0, b = 0,135 м.
= 147,3106 Па = 147,3 МПа,
= 0 МПа.
Точка 2 належить полиці “знизу”
у2 = = 0,135 – 0,0102 = 0,1248 м, b = 0,135 м,
= = = 178,910-6 (м3).
= 136,1 МПа,
= 0,50 МПа.
Точка 3 належить стінці в місті переходу стінки до полиці
у3 = у2 = 0,1248 м, = = 178,910-6 (м3), b = d = 0,006 м.
136,1 МПа,
= 16,3 МПа.
Точка 4 належить нейтральній лінії
у4 = 0 м, = = 229 см3, b = d = 0,006 м.
= 0 МПа,
МПа.
За отриманими значеннями нормальних та дотичних напружень будуємо відповідні епюри в перерізі (рис. 6.14), враховуючи розташування стиснутих волокон зверху (нормальні напруження в цьому місці будуть мати знак “–”), а також симметричність обох епюр відносно нейтральної лінії (осі z).
Еквівалентне напруження за третьою теорією міцності
.
Максимальне еквівалентне напруження буде спостерігатись в точці 3 (за наявності досить великих дотичних напружень), тому
= 139,9 МПа =160 МПа.
Умова міцності для точки “3” за третьою теорією міцності (для пластичних матеріалів) також виконується.
Вказівка. При невиконанні умови міцності.
Якщо максимальне еквівалентне напруження не перевищує допустиме більше ніж на 5% ( 1,05), то розміри перерізу (№ двотавра) залишають без змін з відповідним обґрунтуванням. Якщо перевищує допустиме більше ніж на 5% ( 1,05), то необхідно збільшити № двотавра та виконати перевірку для нового перерізу тільки в точці 3.