1.1.6 Побудова епюр внутрішніх зусиль для плоских рам

Рамами називають системи, що складаються з прямолінійних стержнів, з'єднаних жорсткими вузлами. Вертикально розташовані стержні рами прийнято називати стояками, горизонтальні — ригелями. Жорсткість вузлів усуває можливість взаємного повороту скріплених стержнів, тобто у вузловій точці кути між їх осями залишаються незмінними.

Вісь рами являє собою ламану лінію, однак кожну прямолінійну ділянку її можна розглядати як балку. Тому, щоб побудувати будь-яку епюру для рами, потрібно побудувати її для кожної окремої балки, що входить до складу рами. На відміну від звичайних балок у перерізах стержнів рами, крім згинальних моментів М та поперечних сил Q, звичайно діють ще і поздовжні сили N. Отже, для рам потрібно будувати епюри N, Q і М.

Для N і Q зберігаються раніше прийняті правила знаків:

N > 0, якщо поздовжні сили викликають розтягання;

Q > 0, якщо її вектори прагнуть обертати частини розсіченої рами (відносно точок, близьких до перерізу) за годинниковою стрілкою.

Для згинальних моментів спеціального правила знаків не встановлюють, а при складанні виразів для М (х) приймають за власним розсудом який-небудь момент додатним.

Вирази для N (x), Q (х) і М (х) можна не записувати (при певному досвіді побудови епюр) – за виключенням для тих ділянок, де діє розподілене навантаження. Найчастіше просто обчислюють значення N, Q і М в характерних перерізах (на межах ділянок і в екстремальних точках), а потім проводять лінії епюр, з огляду на їхні властивості, відзначені в п. 1.1.3.

Ординати епюр, як і завжди, відкладаємо перпендикулярно до осі рами, причому додатні ординати Q і N із зовнішньої сторони рами, а від’ємні – з внутрішньої (якщо, звичайно, рама такої конфігурації, що можна розрізнити її зовнішню і внутрішню сторони). Епюри М умовимося для рам будувати на стиснутих волокнах.

Якщо рама має більше однієї опори, то перш ніж приступити до побудови епюр, потрібно методами статики знайти опорні реакції.

Приклад

Побудувати епюри внутрішніх силових факторів для рами, показаної на рисунку 1.13. Вихідні дані P₁ = 2 кН; P₂ = 3 кН; М = 5 кНм; q = 2 кН/м.

Розв’язування

Визначаємо реакції опор Y_A i X_A i Y_В із рівнянь рівноваги статики (рис. 1.14, а):

М_А = 0;

–Р₁1 – q21 – Р₂3 + M +Y_В2 = 0;

Y_В = 0,5[21 – 221 – 33 + 5] = 5 кН;

Y_В = 5 кН.

М_В = 0;

-Y_А2 – Р₁1 + q21 + M – Р₂1 = 0;

Y_А = 0,5[–21 + 221 + 5 – 31] = 2 кН;

Y_А = 2 кН.

F_x = 0;

Р₁ + X_А = 0;

X_А = -2 кН.

Перевірка:

F_у = Y_А – q2 – Р₂ + Y_В = 2 – 22 – 3 + 5 = 0.

Отже, реакції розраховано правильно.

Оскільки при X_А знак “–”, то дійсний напрямок реакції X_А направлений у протилежний бік до попередньо вибраного. Змінюємо напрямок вектора X_А (рис. 1.14, а).

Розділяємо раму на шість ділянок і складаємо рівняння поперечних сил та згинальних моментів для кожної з них.

Ділянка АС

0  x₁  1 м.

N(x₁) = -Y_A = -2 кН;

Q_y(x₁) = X_A = 2 кН;

M_z (x₁) = X_A x₁ = 2x₁;

при x₁=0 м M_z (0) = 0 кНм,

при x₁=1 м M_z(1) = 21 = 2 кНм.

Ділянка СD

0  x₂  1 м.

N(x₂) = -Y_A = -2 кН;

Q_y(x₂) = X_A – P₁ = 0 кН;

M_z (x₂) = X_A (1+ x₂) – P₁ x₂ = 2 кНм.

Ділянка DE

0  x₃  2 м.

N(x₃) = 0 кН;

Q_y(x₃) = Y_A – qx₃ = 2 – 2x₃, (рівняння прямої лінії);

M_z (x₃) = Y_Ax₃ – 0,5qx₃² = 2x₃ – x₃², (рівняння параболи);

при x₃ = 0 м Q_y (0) = 2 кН,

M_z (0) = 0 кНм,

при x₃ = 2 м Q_y (2) = –2 кН,

M_z (2) = 2 кНм.

Е пюра Q_y(x₃) перетинає вісь х, (рис. 1.14, в), це означає що в точці перетину момент M_z набуде екстремального значення. Знайдемо цю точку із умови

Q_y(x₄) = 0, або 2 – 2x₃ = 0, звідки x₃ = 1 м.

Величина згинального моменту при х₄ = 1м: M_z (1) = 2 – 2² = 2 кНм.

Ділянка FE

0  x₄  1 м.

N(x₄) = 0 кН;

Q_y(x₄) = P₂ = 3 кН;

M_z (x₄) = P₂x₃ = 3x₃ ;

при x₄=0 м M_z (0) = 0 кНм,

при x₄=1 м M_z(1) = 31 = 3 кНм.

Ділянка ВН

0  x₅  1 м.

N(x₅) = -Y_В = -5 кН;

Q_y(x₅) = 0;

M_z (x₅) = 0.

Ділянка ВН

0  x₆ 1 м.

N(x₆) = -Y_В = -5 кН;

Q_y(x₆) = 0;

M_z (x₆) = М = 5 кНм.

За отриманими значеннями, із врахуванням основних властивостей епюр, будуємо епюри для рами (рисунок 1.14). Для прикладу епюра згинальних моментів побудована на стиснутих (рис. 1.14 г) та розтягнутих (рис. 1.14 д) волокнах.