§ 2. Факультативные занятия по математике

Факультативные занятия форма учебной работы, предусмотрен­ная постановлением ЦК КПСС и Совета Министров СССР от 10 ноября 1966 г. «О мерах дальнейшего улучшения работы средней общеобразо­вательной школы». Назначение факультативных занятий состоит в развитии способностей и интересов учащихся в сочетании с общеобра­зовательной подготовкой по избранному предмету и на ее основе. По­ложение факультативов в ряду форм углубленного изучения отдель­ных учебных предметов описывается следующим образом: «Факуль­тативы продолжают оставаться одним из основных средств дифферен­циации обучения в условиях всеобщего среднего обязательного обра­зования, помогают решать задачи совершенствования содержания и методов обучения, коммунистического воспитания учащихся, их подготовки к жизни, к труду, в том числе и в сфере материального про­изводства» [43].

2.1. Цели организации факультативных занятий по математике в основном те же, что и цели организации математических классов. Это расширение кругозора учащихся, развитие математического мышления, формирование активного познавательного интереса к предмету, воспитание мировоззрения и ряда личностных качеств средствами углубленного изучения математики. Факультативные занятия содействуют профессиональной ориентации учащихся в области математики и ее приложений, облегчая тем самым выбор спе­циальности и дальнейшее совершенствование в ней.

Различия в деятельности факультативных групп и математических классов связаны с тем, что первые не требуют перестройки системы обучения математике. Они работают на базе общего курса математики. Организация факультативных занятий значительно проще, чем мате­матического класса. Поэтому факультативные занятия — более мас­совая форма повышенной математической подготовки школьников.

Факультативные занятия играют большую роль в совершенство­вании школьного, в том числе математического, образования. Они позволяют производить поиск и экспериментальную проверку нового содержания, новых методов обучения, в широких пределах варьи­ровать объем и сложность изучаемого материала. Эту черту факуль­тативов, позволяющую учителю проявить творческий подход к работе, отметил М. А. Прокофьев: факультативы есть «... средство «обкатки» большого знания. Затем содержание факультатива, выверенное и яс­ное, должно будет войти в общеобразовательные программы. Таков один из путей к качеству, к новому в образовании» (Новый экзамен. — Юность, 1972, № 2).

2.2. Организация факультативных занятий по математике. В на­стоящее иремя предусмотрены факультативные занятия начиная с VII класса. Факультативные группы численностью 15—20 (и более) человек создаются из учащихся параллельных классов. Допус­тимо также создание объединенных групп из учеников последова­тельных классов (VII—VIII или IX—X); могут быть организованы и межшкольные группы. Для успешного проведения факультатива не­обходимо, если только позволяют конкретные условия, внести их в школьное расписание, не допускать срывов и переносов занятий.

Проведение факультативов требует высокого уровня профессио­нальной подготовки учителя. В ряде случаев для руководства факуль­тативными группами приглашают преподавателей высших (особенно педагогических) или средних специальных учебных заведений.

Выбор факультатива производится школьниками свободно, в со­ответствии со своими интересами. Требования к ученику, участвую­щему в работе факультатива, такие же, как и в отношении любого учебного предмета: обязательное посещение занятий, выполнение до­машних заданий и других поручений, собранность, дисциплинирован­ность в учебе и т. д.

Обучение на факультативах ведется по программам, рекомендован­ным Министерством просвещения СССР. К настоящему времени раз­работаны пособия по многим темам факультативных занятий (см. [55], [56], [57]).

2.3. Особенности факультативных занятий по математике. Факуль­тативный курс математики (взятый в целом или же рассматриваемый для одного года обучения) представляет собой систему нескольких тем, относительно слабо связанных между собой. Каждая из них развивает некоторые из основных для школьной математики идей, по­нятий, методов. Отсюда следует, что факультативные занятия необ­ходимо соотносить с основным курсом математики. Для достижения такой связи используются разно­образные методические приемы: си­стематизация, когда соответствую­щая факультативная тема изучается после того, как в основном курсе на­коплен обширный относящийся к ней материал; последовательное развер­тывание теории, когда в основном курсе имеется начальный этап ее по­строения, не доведенный до обобщаю­щих результатов; развернутое описа­ние приложений определенного мето­да, если в основном курсе они толь­ко упомянуты, и многие другие.

Основной курс математики слу­жит, таким образом, источником тем (и конкретных проблем) для углубленной разработки на факуль­тативе. Взаимосвязью основного и факультативного курсов естествен­но воспользоваться для развития мышления учеников, если в под­ходящие моменты обращать их внимание на характер работы с матери­алом. Например, можно не просто производить систематизацию, но и обращать внимание учеников на систематизацию как таковую, объяс­няя ее цели, используемые математические средства и т. д. Воздейст­вие факультативного курса на развитие (в частности, математического) мышления школьников еще более усилится, если связи между ним и основным курсом станут двусторонними. Достигнуть этого поможет изложение на уроках математики результатов, относящихся к пробле­мам, поставленным в основном курсе, но полученным на факультативе.

Приведем конкретный пример. На уроках алгебры при рассмотре­нии рекуррентного способа задания последовательностей на примере последовательности чисел Фиббоначчи был предложен парадокс пре­вращения прямоугольника с площадью 65 в квадрат с площадью 64 (рис. 81). Парадокс легко разрешается с применением признаков по­добия треугольников (линия ЛЕС, так же как и AFC, изображенная на чертеже отрезком, в действительности является ломаной). Однако у него имеется и более глубокое, алгебраическое содержание, связан­ное со свойствами чисел Фиббоначчи: при k2. Это свойство может быть рассмотрено на факультативных занятиях в теме «Последовательности и уравнения» («Математика в приложениях», IX класс, вторая тема); на уроках математики о нем может рассказать кто-нибудь из членов факультативной группы.

Еще одна особенность факультативных занятий — их преемствен­ность в отношении к многим формам внеклассной и внешкольной ра­боты по математике. Факультативы, как и обучение в математических классах, дополняют математические кружки не только новым содер­жанием, новыми подходами к его раскрытию, но и компонентами, при­сущими любому учебному предмету: связностью изложения, длитель­ностью цикла изучения темы и др. В этом отношении на занятиях кружков (в IV—VII классах) может проводиться соответствующая под­готовка, работа по формированию интересов и склонностей ребят, объяснение возможностей дальнейшего углубления знаний и тех ка­честв личности, которые она требует. Такая подготовка существенно облегчает переход к систематическому изучению определенных разде­лов математики на факультативных занятиях.

Наконец, факультативные занятия предоставляют большие воз­можности подготовки к математическим олимпиадам, выступлениям в школьных математических лекториях и вечерах. Таким образом, факультативы могут оказывать положительное воздействие на вне­классную работу.

2.4. Содержание факультативных курсов. Оно определено програм­мой [44] и предусматривает изучение разделов: «Избранные вопросы математики» (VII—X классы, 1 ч в неделю), «Математика в приложе­ниях» (IX—X классы, 1 ч в неделю), «Алгоритмы и программирование» (спецкурс в VIII, IX или X классе, 35 ч). К программе прилагается список литературы, рекомендованный для изучения каждой темы. В IX—X классах учителю предоставляется право изучать один из первых двух разделов полностью или составить комбинированную про­грамму, взяв по одной теме из каждого раздела. Направленность изу­чения описывается в объяснительной записке к программе так: «... предполагается, что в процессе занятий будет показано: история возникновения ряда математических методов, концепций и идей, их значение для других наук и областей практической деятельности» _44, с. 35]. Остановимся на некоторых вопросах раскрытия материала факультативного курса.

1) Исторический материал на факультативах. Историческому аспекту математики на факультативных занятиях можно уделить большее внимание, чем в основном (и даже в углубленном) курсе, поскольку на них выносится сравнительно немного вопросов, но изу­чаемых зато с достаточной глубиной. Степень включенности истори­ческих сведений в различные темы факультативного курса может ме­няться — от эпизодических упоминаний о фактах и личностях до изложения темы в плане ее последовательного исторического раз­вития. Не все темы предоставляют в этом отношении равные возмож­ности; но, во всяком случае, нельзя недооценивать как педагогиче­ского (повышение интереса к предмету), так и методологического (ука­зание роли практики в постановке теоретических задач, разъяснение сил, движущих развитием научного знания) влияния исторических сведений на формирование мировоззрения и развитие мышления школьников. Приведем примеры включения исторических сведений в некоторые темы факультативного курса.

«Делимость и простые числа», «Системы счисления и арифметичес­кие устройства ЭВМ» (VII класс). В первой из этих тем достаточно, по-видимому, отдельных упоминаний о выдающихся ученых в связи с рассказом об их достижениях (решето Эратосфена; простые числа в «Началах» Евклида; вклад Ферма в теорию чисел; величайшие дости­жения русских и советских ученых — П. Л. Чебышева, И. М. Вино­градова и т. д.). Вторая тема предоставляет большие возможности.

В отношении систем счисления наиболее поучительно проследить за процессом поиска наиболее оптимальной системы, показать преиму­щества позиционного принципа с точки зрения простоты алгоритмов вычислений. При изучении арифметического устройства ЭВМ невоз­можно обойти молчанием историю развития средств вычислительной техники — от первых арифмометров Паскаля и Шиккарда до совре­менных вычислительных комплексов. В целом исторические сведения здесь относятся к изложению принципиально важных вопросов, хотя основной упор должен быть сделан на конкретно-математическом со­держании материала.

«Бесконечные множества» (VIII класс). Теоретико-множественные символика и конструкции образуют важную часть языка современной математики, поэтому в изложение этой темы могут быть включены разнообразные сведения о происхождении и развитии математических символов. С методологической точки зрения исключительный интерес представляют парадоксы теории множеств; некоторые парадоксы мо­гут быть приведены на занятиях. Следует учесть, однако, что далеко не все они относятся к числу разрешенных в современной математике. Это живая, развивающаяся в настоящее время глава математической логики. Поэтому для изложения соответствующего материала учитель должен достаточно уверенно владеть этим разделом математики. Гораздо легче остановиться на истории открытия несчетных множеств, доказательстве существования иррациональных и трансцендентных чисел (сопоставляя доказательства Кантора и Лиувилля), мощности множества точек единичного квадрата и аналогичных вопросах.

«Элементы комбинаторики и теории вероятностей» (IX класс). Роль исторических сведений здесь очень велика, — настолько, что вся тема может быть построена в историческом плане. Может быть сде­лан акцент на практическую важность статистической обработки ин­формации (статистика числа рождений и смерти, деятельность страхо­вых обществ), первых попыток развития теории вероятностей как отражения запросов развития общества, роли азартных игр как про­стейшей математической модели, на которой отшлифовывались основ­ные понятия теории вероятностей. В качестве финала такого построе­ния курса можно рассказать о современных методах контроля каче­ства изделий.

«Комплексные числа и многочлены» (X класс). Исторический аспект данной темы связан прежде всего с идеей последовательного построе­ния числовой системы. На этой основе можно развернуть поучитель­ную картину событий, длившуюся свыше трех тысяч лет, охватившую многие народы и страны. Можно рассказать о том, как постепенно про­исходило признание новых числовых областей в связи с развитием тео­рии и нахождением областей приложений. Можно остановиться и на отдельных более специальных вопросах, давая им историческое осве­щение: развитие техники выполнения арифметических операций с комплексными числами; решение уравнений в радикалах; геометриче­ская интерпретация комплексных чисел. Полезно рассказать о роли комплексных чисел в развитии математического аппарата ряда разде­лов физики.

2) Прикладная направленность факультативного курса матема­тики. Важнейшей особенностью факультативных занятий по мате­матике является их направленность в сторону приложений математики. Это относится не только к темам курса «Математика в приложениях», где изучение приложений, проведение практических работ предусмот­рено программой. При изучении всех тем курса «Избранные вопросы математики» необходимо предусмотреть обсуждение того значения, которое они имеют в различных областях науки и производства. При­ведем простые примеры: двоичный сумматор («Системы счисления»), переключательная схема («Элементы математической логики»), мнимые числа в аэродинамике и теории электрических цепей («Комплексные числа и многочлены»). Наибольшие (вернее, наиболее просто реализу­емые в условиях школьного преподавания) возможности для иллюстра­ции прикладного значения математики имеет тема «Дифференциальные уравнения» (см., например, [50]).

Отметим, что прикладной аспект математики проявляется не толь­ко в процессе изучения целой темы или крупного ее раздела. Часто он связан с небольшим кругом понятий или даже с отдельным понятием. Например, можно привести интересные приложения чисел Фиббоначчи к различным прикладным вопросам: росту дерева, размножению некоторых видов животных, составлению программы телепередач и др. (см. [49], с. 326).

3) Практические работы. В программу раздела «Математика в приложениях» включены практические работы по каждой теме. Эта форма занятий в наибольшей степени сближает процесс обучения в школе с различными применениями знаний на практике. Для проведе­ния практических работ учитель составляет инструкцию, в которой нужно определить цели практической работы, задания для учащихся, порядок работы. Задания полезно подбирать дифференцированно, а при подведении итогов показать результаты деятельности всей груп­пы как целого.

В качестве примера рассмотрим практическую работу по теме «Многогранники» (IX класс, практическая работа № 2). При подго­товке инструкции (построение разверток, проекций и моделей пра­вильных и полуправильных многогранников) должно быть предусмот­рено составление эскиза, проверка его учителем, изготовление по эскизу разверток и моделей призм, пирамид и т. д. (подробные рекомен­дации имеются в [7]). Каждый участник факультативной группы ра­ботает при этом самостоятельно; для изготовления моделей более сложных многогранников целесообразно использовать групповую (3—4 человека в группе) форму выполнения задания. Эта форма по­лезна в отношении развития навыков коллективной работы (см. § 3, п. 1.1). Перед выполнением задания может быть заслушано сообще­ние об основных видах правильных и полуправильных многогран­ников.

Перед выполнением лабораторной работы «Метод итерации» в теме «Последовательности и уравнения» (IX класс) учащиеся могут познакомиться с методом последовательных приближений и его при­менением к решению уравнений (см. [9}), после чего им предлагаются задания для самостоятельного решения уравнений и систем урав­нений.

2.5. Методы обучения на факультативных занятиях. При вы­боре методов и приемов обучения на факультативных занятиях необходимо учитывать содержание факультативного курса, уровень развития и подготовленности учащихся, их интерес к тем или иным разделам программы. Одно из главнейших требований к методам со­стоит в активизации мышления учащихся, развитии самостоятельно­сти в различных формах ее проявления.

Как и в работе с математическими классами, на факультативах могут использоваться разнообразные формы и методы проведения занятий: лекции, практические работы, обсуждение заданий по до­полнительной литературе, доклады учеников, составление рефера­тов, экскурсии. Рассмотрим некоторые из них.

Часть материала может быть изложена лекционно, особенно при его синтезе и обобщении. Цель учителя — показать, как проводить подобную организацию материала: некоторые детали доказательств можно опустить, из определений привести только самые главные, но конкретные методы решения задач изложить в таком виде, чтобы яс­но прослеживался путь решения. Такие лекции полезно проводить по "материалу, в котором уделяется большое внимание отработке навыков. Например, в теме «Функции и графики» таким является материал, относящийся к понятию асимптоты.

Иной тип лекций используется, когда целью служит не система­тизация навыков, а общее развитие школьников, например в отноше­нии понимания прикладной роли математики. Здесь важно выделить не методы решения отдельных типов задач, а идеи, служащие основой для них, или же сами методы, но в обобщенной форме. В таких лек­циях большое место занимают история, примеры из современной жиз­ни и производства. Примеры: теория вероятностей в нашей жизни — в теме «Теория вероятностей и элементы комбинаторики»; зачем нужны комплексные числа — в теме «Комплексные числа и многочлены».

При проведении лекции возможны беседы с учениками, обсужде­ние возникающих по ходу рассказа вопросов, постановка задач и др. Полезная форма работы — подготовка учениками рефератов. Вы­полнение таких заданий важно прежде всего в отношении развития навыков самообразования, удовлетворения индивидуальных интере­сов учеников. Одновременно индивидуальное задание должно иметь ценность для всех участников факультативной группы. Следует стре­миться к тому, чтобы подготовленные доклады заслушивались и об­суждались. К подготовке доклада можно привлечь нескольких ребят, заранее изучивших его. Они могут выполнять роль ассистентов лек­тора или его оппонентов.

Для рефератов нужно подбирать темы, по которым имеются легко­доступные источники. Наибольшее распространение получил журнал «Квант», имеется и много других возможностей (см. литературные ука­зания в § 1, п. 5.7). Приведем примеры тем рефератов с указанием ли­тературы, рекомендуемой для ученика: «Операции над множествами» ([10], Квант, 1973, № 7, с. 2); «Числа Фиббоначчи» ([15], [49], Квант, 1979, № 5, с. 73); «Правильные многогранники» ([7], Квант, 1973, № 5, с. 26; Математика в школе, 1979, № 3, с. 73). План реферата можно предложить ученику составить самостоятельно, потом про­верить его и дать рекомендации по работе с литературой.

Очень большое значение для успешности усвоения материала имеет подбор задач. Вводные задачи на факультативных занятиях пресле­дуют цель включения учащихся в самостоятельную творческую ра­боту; подчас учитель может намеренно привести задачу, способную поставить учеников в тупик. Например, перед изучением теории ря­дов на факультативных занятиях в IX классе можно обсудить различ­ные способы «вычисления суммы» ряда 1 — 1 +1 — . . .:

Этотпарадоксальный результат ([32], с. 54) служит поводом для введения современного определения суммы ряда и развития техники действий со сходящимися рядами.

Следует предусмотреть также в нужных местах изложения про­блемные задачи, циклы для самостоятельного решения, задачи для закрепления и формирования навыков, исследовательские задачи.

Время, выделенное программой для решения задач повышенной трудности (11 ч), можно распределить в течение всего учебного года. Более сложные задачи можно рассмотреть на заключительных заня­тиях по темам. На этих же занятиях целесообразно ознакомить школь­ников с программами вступительных экзаменов и особенностями обу­чения в вузах.

Остановимся вкратце на использовании наглядных и технических средств обучения на факультативных занятиях. Оно во многих слу­чаях позволяет активизировать познавательную деятельность, не говоря о том, что некоторые виды технических средств (например, применение кинофрагментов) обладают исключительно большими воз­можностями наглядного показа материала обучения. При изучении некоторых тем можно воспользоваться диафильмами, например: «Счетная техника» в теме «Системы счисления», «Преобразования гра­фиков функций» в теме «Функции и графики», «Геометрическое изо­бражение комплексных чисел» в теме «Комплексные числа и много­члены».

Факультативные занятия должны быть интересными, увлекатель­ными для школьников. Вот что пишет о популяризации науки Я- И. Перельман: «. . . спору нет, наука бесконечно интересна,— но для кого? Для того, кто в нее углубился, кто овладел ее методом, а не для того, кто стоит лишь в ее преддверии. Популяризатор не может возлагать надежд на увлекательность самого предмета и освободить себя от забот о поддержании внимания своего читателя» (Неделя, 1968, № 15). Хорошо известно, что занимательность изложения по­могает раскрытию содержания сложных научных понятий и проблем.

Занимательность поможет школьникам освоить факультативный курс, содержащиеся в нем идеи и методы математической науки, логику и приемы творческой деятельности. В этом отношении цель учителя — добиться понимания учениками того, что они подготовлены к работе над сложными проблемами, однако для этого необходимы заинтере­сованность предметом, трудолюбие, владение навыками организации своей работы.